احتمال شرطی: 7 واقعیت جالب برای دانستن

احتمال احتمالی

مشروط نظریه احتمالی از مفهوم ریسک بزرگ بیرون می آیند. در حال حاضر مسائل زیادی وجود دارد که از بازی شانس بیرون آمده است، مانند پرتاب سکه، پرتاب تاس، و ورق بازی. 

نظریه احتمال شرطی در بسیاری از حوزه های مختلف و انعطاف پذیری استفاده می شود احتمال احتمالی ابزارهایی را برای تقریباً بسیاری از نیازهای مختلف فراهم می کند. نظریه احتمال و نمونه های مربوط به مطالعه احتمال وقوع رویدادها.

X و Y را در نظر بگیرید که هر دو دو رویداد یک آزمایش اتفاقی هستند. پس از آن، احتمال وقوع X تحت شرایطی که Y قبلاً با P (Y) ≠ 0 اتفاق افتاده است، به عنوان احتمال شرطی شناخته می شود و با P (X / Y) نشان داده می شود.

بنابراین، P (X / Y) = احتمال وقوع X، در صورتی که Y قبلاً اتفاق افتاده باشد.

P(X ⋂ Y)/P(Y) = n (X ⋂ Y)/n (Y )

به طور مشابه، P (Y / X) = احتمال وقوع Y، همانطور که X قبلاً اتفاق افتاده است.

P(X ⋂ Y)/P(X) = n (X ⋂ Y)/n (Y )

به طور خلاصه برای برخی موارد، P (X / Y) برای مشخص کردن احتمال وقوع X در هنگام وقوع Y استفاده می شود. به طور مشابه، P (Y / X) برای مشخص کردن احتمال وقوع Y در حالی که X اتفاق می افتد استفاده می شود.

قضیه ضرب در احتمال چیست؟

اگر X و Y هر دو رویدادهای خودپشتیبانی (مستقل) یک آزمایش دلخواه باشند، پس

P(X ⋂ Y) = P(X). P(X/Y)، اگر P (X) ≠ 0

P(X ⋂ Y) = P(Y). P(Y/X)، اگر P (Y) ≠ 0

قضایای ضرب برای رویدادهای مستقل چیست؟ 

If X و Y هر دو رویدادهای خودپشتیبانی (مستقل) هستند که به یک آزمایش دلخواه متصل هستند، سپس P(X∩ Y) =P(X).P(Y)

یعنی احتمال وقوع همزمان دو رویداد مستقل برابر است با ضرب احتمالات آنها. با استفاده از قضیه ضرب، P(X ∩ Y) =P(Y).P(Y/X) داریم.

 از آنجایی که X و Y رویدادهای مستقل هستند، بنابراین P(Y/X)=P(Y)

به این معنی است که P(X∩ Y) =P(X).P(Y)

در حالی که رویدادها متقابل هستند: 

اگر X و Y رویدادهای متقابل انحصاری هستند، ⇒ n(X ∩ Y)= 0 , P(X ∩ Y) = 0

P(XUY)=P(X) +P(Y)

برای هر سه رویداد X، Y، Z که متقابل انحصاری هستند، 

P(X ∩ Y) = P(Y ∩ Z) =P(Z ∩ X) =P(X ∩ Y ∩ Z) =0

P (X ⋃ Y ⋃ Z) = P(X) + P(Y) + P(Z)

در حالی که رویدادها مستقل هستند: 

اگر X و Y رویدادهای بدون محدودیت (یا مستقل) هستند، پس

P(X ∩ Y) = P(X).P(Y)

P(XUY) = P(X) + P(Y) – P(X). P(Y)

پس فرض کنید X و Y دو رویداد مرتبط با یک آزمایش دلخواه (یا تصادفی) باشند

اگر Y⊂ X، پس

(ب) P(Y) ≤ P(X)

به طور مشابه اگر X⊂ Y، پس

(ب) P(X) ≤ P(Y)

احتمال وقوع نه X و نه Y است 

مثال: اگر از یک بسته کارت یک کارت انتخاب شود. احتمال اینکه بیل یا پادشاه باشد چقدر است؟

راه حل:

P (A) = P (یک کارت بیل) = 13/52

P (B) = P (یک کارت پادشاه) = 4/52

P (یا بیل یا یک کارت شاه) = P (A یا B)

=P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A∩B)

=P(A)+P(B)-P(A)P(B)

=13/52+4/52-{(13/52)*(4/52)}

= 4/13

مثال: مشخص است که فردی با 3 از 4 شانس به هدف می زند، در حالی که فرد دیگری با 2 از 3 شانس به هدف می زند. وقتی هر دو نفر در حال تلاش هستند، متوجه شوید که آیا احتمال آن هدف اصلاً مورد اصابت قرار می گیرد یا خیر.

راه حل:

 احتمال اصابت به هدف توسط شخص اول = P (A) = 3/4

احتمال اصابت به هدف توسط نفر دوم = P (B) = 2/3

این دو رویداد متقابل نیستند، زیرا هر دو نفر به یک هدف برخورد می کنند = P (A یا B)

=P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A∩B)

=P(A)+P(B)-P(A)P(B)

=3/4+2/3-{(3/4)*(2/3)}

= 11/12

مثال: If  A  و B آیا دو رویداد به گونه ای هستند که P(A)=0.4، P(A+B)=0.7 و P(AB)=0.2 سپس P(B)؟

راه حل: چون P(A+B)=P(A) +P(B) -P(AB) داریم

=> 0.7=0.4+ P(B)-0.2

=> P(B) = 0.5

مثال: یک کارت به صورت دلخواه از یک بسته کارت انتخاب می شود. احتمال اینکه کارت کارت قرمز رنگ یا ملکه باشد چقدر است.

راه حل: احتمال مورد نیاز است

P (قرمز + ملکه) - P (قرمز ⋂ ملکه)

=P(قرمز) +P(ملکه)-P(قرمز ⋂ ملکه)

=26/52+4/52-2/52=28/52=7/13

مثال: اگر احتمال شکست X در آزمون 0.3 و احتمال Y 0.2 باشد، پس احتمال شکست X یا Y در آزمون را پیدا کنید؟

راه حل: در اینجا P(X)=0.3، P(Y)=0.2

اکنون P(X ∪ Y) = P(X) +P(Y) -P(X ⋂ Y)

از آنجایی که این رویدادها مستقل هستند، بنابراین

P(X ⋂ Y) =P(X) . P(Y)

بنابراین احتمال مورد نیاز 0.3+0.2 -0.06=0.44 است

مثال: احتمال شکست در فیزیک 20 درصد و احتمال شکست در ریاضی 10 درصد است. احتمال شکست در حداقل یک موضوع چیست؟

راه حل: فرض کنید P(A) =20/100=1/5، P(B) =10/100=1/10

از آنجایی که رویدادها مستقل هستند و ما باید پیدا کنیم 

P(A ∪ B)=P(A) +P(B) -P(A). P(B)

=(1/5)+(1/10)-(1/5). (1/10)= (3/10)-(1/50)=14/50

بنابراین احتمال شکست در یک موضوع (14/50) X 100 = 28٪ است.

مثال: احتمال حل یک سوال توسط سه دانش آموز به ترتیب 1/2,1، 4/1 و 6/XNUMX است. شانس احتمالی برای پاسخ به سوال چقدر خواهد بود؟

راه حل:

(i) این سوال را یک دانش آموز نیز می تواند حل کند

(ii) این سوال می تواند توسط دو دانش آموز به طور همزمان پاسخ داده شود.

(iii) این سوال را سه دانش آموز با هم می توانند پاسخ دهند.

P(A)=1/2, P(B)=1/4, P(C)=1/6

P(A ∪ B ∪ C) = P(A) + P(B) +P(C)- [P(A).P(B)+P(B).P(C)+P(C). P(A)] + [P(A).P(B).P(C)]

=(1/2)+(1/4)+(1/6)-[(1/2).(1/4)+(1/4).(1/6)+(1/6).(1/2)] +[(1/2).(1/4).(1/6)] =33/48

مثال: یک متغیر تصادفی X دارای توزیع احتمال است

X	1	2	3	4	5	6	7	8
P(X)	0.15	0.23	0.12	0.10	0.20	0.08	0.07	0.05

برای رویدادها E ={X عدد اول است} و F={X<4}، احتمال P(E ∪ F) را پیدا کنید.

راه حل:

E ={ X یک عدد اول است}

P(E) = P(2) +P(3)+ P(5) +P(7) =0.62

F ={X <4}، P(F) =P(1)+P(2)+P(3)=0.50

و P(E ⋂ F) = P(2) + P(3) = 0.35

P(E ∪ F) =P(E)+P(F) - P(E ⋂ F)

      = 0.62 + 0.50 - 0.35 = 0.77

مثال: سه سکه پرتاب می شود. اگر یکی از آنها دم به نظر می رسد، پس احتمال اینکه هر سه سکه دنباله ظاهر شوند چقدر خواهد بود؟

راه حل: در نظر بگیرید E رویدادی است که در آن هر سه سکه دم و F رویدادی است که در آن دم سکه ظاهر می شود. 

F= {HHT، HTH، THH، HTT، THT، TTH، TTT}

و E = {TTT}

احتمال لازم = P(E/F)=P(E ⋂F )/P(E)=1/7

احتمال کل و قانون بای

قانون احتمال کل:

برای فضای نمونه S و n رویدادهای متقابل منحصر به فرد و جامع E₁ E₂ ….E_n مربوط به یک آزمایش تصادفی اگر X یک رویداد خاص است که با رویداد E اتفاق می افتد₁ سنگ معدن₂ یا … یا E_n، و سپس 

قانون بای: 

در نظر بگیرید S یک فضای نمونه باشد و E₁، E₂، …..E_n be n رویدادهای نامتجانس (یا متقابلاً منحصر به فرد) به گونه ای که

و P(E_i) > 0 برای i = 1,2,…,n

ما می توانیم فکر کنیم E_iبه عنوان عواملی که منجر به نتیجه آزمایش می شود. احتمالات P(E_i), i = 1، 2، …..، n به عنوان احتمالات قبلی (یا پیش از آن) شناخته می شوند. اگر نتایج ارزیابی در نتیجه رویداد X باشد، کجا P(X) > 0. سپس باید این احتمال را درک کنیم که رویداد درک شده X به دلیل علت بوده است. E_i، یعنی به دنبال احتمال شرطی P(E_i/ایکس) . این احتمالات به عنوان احتمالات پسین شناخته می شوند که توسط قانون بای به عنوان داده شده است

مثال: 3 جعبه وجود دارد که شامل 2 تیله آبی و 3 تیله سبز است. 4 تیله آبی و 1 تیله سبز و 3 تیله آبی و 7 تیله سبز. یک سنگ مرمر به طور تصادفی از یکی از جعبه ها کشیده می شود و پیدا می شود که یک توپ سبز رنگ است. سپس احتمال اینکه از جعبه حاوی بیشترین تیله های سبز کشیده شده باشد چقدر است.

راه حل: وقایع زیر را در نظر بگیرید:

A -> سنگ مرمر کشیده شده سبز است.

E₁ -> کادر 1 انتخاب شده است.

E₂ کادر 2 انتخاب شده است

E₃ کادر 3 انتخاب شده است.

پلی اتیلن₁)=P(E₂)=P(E₃)=1/3، p(A/E₁)=3/5

سپس

P(A/E₂)=1/5، P(A/E₃)=7/10

احتمال مورد نیاز =P(E₃/آ)

پلی اتیلن₃)P(A/E₃)/پلی اتیلن₁)P(A/E₁)+P(E₂)P(A/E₂)+P(E₃)P(A/E₃)=7/15

مثال: در آزمون ورودی سوالات چند گزینه ای وجود دارد. چهار پاسخ صحیح احتمالی برای هر سوال وجود دارد که کدام یک درست است. احتمال اینکه یک دانش آموز پاسخ درست به یک سوال خاص را درک کند 90٪ است. اگر او پاسخ درستی برای یک سوال خاص دریافت کند، پس احتمال اینکه او پیش بینی کرده باشد چقدر است.

راه حل: رویدادهای زیر را تعریف می کنیم:

A₁ : جواب را می داند.

A₂ : شاید جواب را نداند.

ه: از پاسخ صحیح آگاه است.

P(A₁) =9/10، P(A₂) =1-9/10=1/10، P(E/A₁)=1،

P(E/A₂) = 1/4

بنابراین احتمال مورد انتظار

مثال: سطل A شامل 4 عدد مرمر و سطل زرد و 3 عدد سیاه است B شامل 4 تیله سیاه و 3 مرمر زرد. یک سطل به طور تصادفی گرفته می شود و یک سنگ مرمر کشیده می شود و به آن اشاره می شود که زرد است. احتمال اینکه بیاد سطل چقدره B.

راه حل: بر اساس قضیه بای است. 

احتمال انتخاب سطل A ، P(A)=1/2

احتمال انتخاب سطل B ، P(B)=1/2

احتمال وجود سنگ مرمر زرد از سطل A  =P(A). P(G/A)=(1/2)x (4/7)=2/7 

احتمال وجود سنگ مرمر زرد از سطل B = P(B).P(G/B)=(1/2)x(3/7)=3/14

احتمال کل مرمرهای زرد= (2/7)+(3/14)=1/2

احتمال اینکه مرمرهای زرد از سطل کشیده شده باشد B  

P(G/B)={P(B).P(G/B)}/{P(A).P(G/A)+P(B).P(G/B)}={(1/2)x(3/7)}/{[(1/2)x(4/7)]+[(1/2)+(3/7)]} =3/7

نتیجه:

 در این مقاله به طور عمده در مورد احتمال شرطی و قضیه بیز با مثال ها از این‌ها پیامد مستقیم و وابسته آزمایشی است که تاکنون در مقاله‌های متوالی در مورد آن بحث کرده‌ایم، احتمال را به متغیر تصادفی مرتبط می‌کنیم و برخی از اصطلاحات آشنای مربوط به نظریه احتمال را مورد بحث قرار می‌دهیم، اگر می‌خواهید بیشتر بخوانید، به ادامه مطلب بروید:

Schaum's Outlines of Probability and Statistics و Wصفحه ایکی پدیا.

برای مطالعه بیشتر، لطفا به ما مراجعه کنید صفحه ریاضی.