مثال های اساسی در فرمول "بخش های نقطه یا نسبت"
مورد-من
مسئله 21: مختصات نقطه P(x, y) را که پاره خطی را که دو نقطه (1,1،4,1) و (1،2) را به نسبت XNUMX:XNUMX به هم می پیوندد، به صورت داخلی تقسیم می کند.
راه حل: ما قبلاً می دانیم،
اگر یک نکته P(x، y) پاره خط AB را تقسیم می کند داخلی در نسبت m:n،که در آن مختصات A و B هستند (x1,y1) و (x2,y2) به ترتیب. سپس مختصات P هستند
و
(نمودار فرمول ها را ببینید)
با استفاده از این فرمول می توان گفت: (x1,y1) ≌(1,1،XNUMX) یعنی x1= 1 y1=1 ;
(x2,y2)≌(4,1،XNUMX) یعنی x2= 4 y2=1
و
m:n ≌ 1:2 یعنی m=1،n=2
از این رو،
x =
( قرار دادن مقادیر m & n در
یا، x =1*4+2*1/3 ( قرار دادن مقادیر x1 & x2 هم )
یا، x = 4 + 2/3
یا، x = 6 * 3
Or, X = 2
به همین ترتیب ما دریافت می کنیم،
y =
( قرار دادن مقادیر m & n در y =
یا، y =(1*1+2*1)/3 ( قرار دادن مقادیر y1 & y2 هم )
یا، y = 1*1+2/3
یا، y = 3 / 3
یا، y = 1
از این رو، x=2 و y=1 مختصات نقطه P یعنی (2,1) هستند. (پاسخ)
مسائل بیشتر پاسخ داده شده در زیر برای تمرین بیشتر با استفاده از روش توضیح داده شده در مشکل 21 بالا آورده شده است:
مسئله 22: مختصات نقطه ای را پیدا کنید که پاره خطی را که دو نقطه (0,5) و (0,0) را به نسبت 2:3 به هم می پیوندد، به صورت داخلی تقسیم می کند.
پاسخ (0,2)
مسئله 23: نقطه ای را بیابید که پاره خطی را که به نقاط (1,1،4,1) و (2،1) به نسبت XNUMX:XNUMX می پیوندد، به صورت داخلی تقسیم می کند.
پاسخ (3,1)
مسئله 24: نقطه ای را پیدا کنید که روی پاره خطی که دو نقطه (3,5،3،) و (5،-1،) را به هم وصل می کند، آن را به نسبت 1:XNUMX تقسیم کنید.
پاسخ (3,0)
مسئله 25: مختصات نقطه ای را بیابید که پاره خطی را که به دو نقطه (-4,1) و (4,1) به نسبت 3:5 می پیوندد، به صورت داخلی تقسیم می کند.
پاسخ (-1,1)
مسئله 26: نقطه ای را پیدا کنید که پاره خطی را که به دو نقطه (-10,2) و (10,2) به نسبت تقسیم می کند، به صورت داخلی تقسیم می کند. 1.5 : 2.5.
_____________________________
مورد دوم
مشکلات 27: مختصات نقطه Q(x,y) را بیابید که به صورت خارجی پاره خطی را که به دو نقطه (2,1،6,1) و (3،1) به نسبت XNUMX:XNUMX می پیوندد، تقسیم می کند.
راه حل: ما قبلاً می دانیم،
اگر یک نکته Q(x,y) پاره خط AB را تقسیم می کند بیرون در نسبت m:n،جایی که مختصات of A و B هستند (x1,y1) و (x2,y2) به ترتیب مختصات نقطه P هستند
و
(نمودار فرمول ها را ببینید)
با استفاده از این فرمول می توان گفت: (x1,y1) ≌(2,1) یعنی x1= 2 y1=1 ;
(x2,y2)≌(6,1) یعنی x2= 6 y2=1 و
m:n ≌ 3:1 یعنی m=3,n=1
از این رو،
x =
( قرار دادن مقادیر m & n در x =
یا، x =(3*6)-(1*2)/2 ( قرار دادن مقادیر x1 & x2 هم )
یا، x = 18-2/2
یا، x = 16/2
یا، x = 8
به همین ترتیب ما دریافت می کنیم،
y =
( قرار دادن مقادیر m & n در y =
یا، y =
( قرار دادن مقادیر y1 & y2 هم )
یا، y = 3-1/2
یا، y = 2 / 2
یا، y = 1
از این رو، x=8 و y=1 مختصات نقطه Q هستند یعنی (8,1). (پاسخ)
مسائل بیشتر پاسخ داده شده در زیر برای تمرین بیشتر با استفاده از روش توضیح داده شده در مشکل 27 بالا آورده شده است:
مسئله 28: نقطه ای را بیابید که به صورت خارجی پاره خطی را که به دو نقطه (2,2،4,2) و (XNUMX،XNUMX) به نسبت تقسیم می کند، تقسیم می کند. 3 : 1.
پاسخ (5,2)
مسئله 29: نقطه ای را بیابید که به صورت خارجی پاره خطی را که به دو نقطه (0,2،0,5) و (XNUMX،XNUMX) به نسبت تقسیم می کند، تقسیم می کند. 5: 2.
پاسخ (0,7)
مسئله 30: نقطه ای را بیابید که روی قسمت کشیده شده از پاره خطی قرار دارد که دو نقطه (-3,-2) و (3,-2) را به نسبت می پیوندد. 2 : 1.
پاسخ (9،-2)
________________________________
مورد - III
مشکلات 31: مختصات نقطه وسط پاره خطی را که دو نقطه (1,2،1,2-) و (XNUMX،XNUMX) را به هم می پیوندند، بیابید.
راه حل: ما قبلاً می دانیم،
اگر یک نکته R(x,y) نقطه وسط پاره خط به هم می پیوندد تبر1,y1) و B(x2,y2).سپس مختصات از R هستند
و
(نمودار فرمول ها را ببینید)
Case-III شکل case-I است در حالی که m=1 و n=1 است
با استفاده از این فرمول می توان گفت: (x1,y1) ≌(-1,2،XNUMX) یعنی x1= -1 y1=2 و
(x2,y2)≌(1,2) یعنی x2= 1 y2=2
از این رو،
x =
( قرار دادن مقادیر x1 & x2 in x =
یا، x = 0 / 2
یا، x = 0
به همین ترتیب ما دریافت می کنیم،
y =2 + 2/2 ( قرار دادن مقادیر y1 & y2 in y =
یا، y = 4 / 2
یا، y = 2
از این رو، x=0 و y=2 مختصات نقطه میانی R یعنی (0,2) هستند. (پاسخ)
مسائل بیشتر پاسخ داده شده در زیر برای تمرین بیشتر با استفاده از روش توضیح داده شده در مشکل 31 بالا آورده شده است:
مسئله 32: مختصات نقطه وسط خطی را که دو نقطه (-1،-3) و (1،-4) را به هم وصل می کند، بیابید.
پاسخ (0,3.5)
مسئله 33: مختصات نقطه میانی را که پاره خطی را که به دو نقطه (-5,-7) و (5,7) می پیوندد، تقسیم می کند.
پاسخ (0,0)
مسئله 34: مختصات نقطه میانی را که پاره خطی را که به دو نقطه (10،-5) و (7,2،XNUMX-) می پیوندد، تقسیم می کند، بیابید.
پاسخ (1.5، -1.5)
مسئله 35: مختصات نقطه میانی را که پاره خطی را که به دو نقطه (3,√2) و (1,3) تقسیم می‌کند، پیدا کنید.√2).
پاسخ (2,2√2)
مسئله 36: مختصات نقطه میانی را که پاره خطی را که به دو نقطه (2+3i,5) و (2-3i,-5) تقسیم می‌کند، بیابید.
پاسخ (2,0)
توجه: چگونه می توان بررسی کرد که آیا یک نقطه یک خط (طول = d واحد) را در داخل یا خارج بر نسبت m:n تقسیم می کند؟
اگر (m×d)/(m+n) + (n×d)/(m+n) = d، سپس تقسیم داخلی و
اگر (m×d)/(m+n) – (n×d)/(m+n) = d، سپس تقسیم خارجی
____________________________________________________________________________
مثال های اساسی در فرمول های "مساحت مثلث"
مورد-من
مشکلات 37: مساحت مثلث با دو رأس چقدر است؟ الف (1,2) و B(5,3،XNUMX) و ارتفاع با توجه به AB be 3 واحد در هواپیمای مختصات؟
راه حل: ما قبلاً می دانیم،
If "H" ارتفاع و "ب" پس پایه مثلث باشد مساحت مثلث = ½ × b × h است
(نمودار فرمول ها را ببینید)
با استفاده از این فرمول می توان گفت:
h = 3 واحد و b = √ [(x2-x1)2+(y2-y1)2 ] یعنی √ [(5-1)2+(3-2)2 ]
یا، b = √ [(4)2+ (1)2 ]
یا، b = √ [(16+1 ]
یا، b = √ 17 واحد
بنابراین مساحت مورد نیاز مثلث است = ½ × b × h یعنی
= ½ × (√ 17 ) × 3 واحد
= 3⁄2 × (√ 17 ) واحد (پاسخ)
______________________________________________________________________________________
مورد دوم
مشکلات 38:مساحت مثلث با رئوس چقدر است؟ A(1,2،5,3)، B(3,5،XNUMX) و C(XNUMX،XNUMX) در هواپیمای مختصات؟
راه حل: ما قبلاً می دانیم،
If تبر1,y1،) B(x2,y2) و C(x3,y3) رئوس مثلث باشد،
مساحت مثلث است =|½[x1 (y2- y3) + x2 (y3- y2) + x3 (y2- بله1)]|
(نمودار فرمول ها را ببینید)
با استفاده از این فرمول داریم،
(x1,y1) ≌(1,2،XNUMX) یعنی x1= 1 y1=2 ;
(x2,y2) ≌(5,3) یعنی x2= 5 y2=3 و
(x3,y3) ≌(3,5) یعنی x3= 3 y3=5
بنابراین مساحت مثلث = است |½[x1 (y2- y3) + x2 (y3- y1) + x3 (y1-y2)]| به عنوان مثال
= |½[1 (3-5) + 5 (5-3) + 3 (3-2)]| واحدهای مربع
= |½[ 1x (-2) + (5×2) + (3×1)]| واحدهای مربع
= |½[-2 + 10 + 3]| واحدهای مربع
= | ½ X 11| واحدهای مربع
= 11-2 واحدهای مربع
= 5.5 واحدهای مربع (پاسخ)
مسائل بیشتر پاسخ داده شده در زیر برای تمرین بیشتر با استفاده از روش شرح داده شده در مسائل بالا آورده شده است:
مسئله 39: مساحت مثلثی را که رئوس آن (1,1،1,2)، (-3,2،XNUMX) و (XNUMX،XNUMX) است، بیابید.
پاسخ 2 واحدهای مربع
مسئله 40: مساحت مثلثی را که رئوس آن (3,0،0,6)، (6,9،XNUMX) و (XNUMX،XNUMX) است، بیابید.
پاسخ 22.5 واحدهای مربع
مسئله 41: مساحت مثلثی را که رئوس آن (-1،-2)، (0,4،1) و (3،-XNUMX) است، بیابید.
پاسخ 6.5 واحدهای مربع
مسئله 42: مساحت مثلثی را که رئوس آن (-5,0،0,5،)، (0،5) و (XNUMX،-XNUMX) است، بیابید. پاسخ 25 واحدهای مربع
_______________________________________________________________________________________
برای پست بیشتر در مورد ریاضیات، لطفا ما را دنبال کنید صفحه ریاضی
