متغیر تصادفی گسسته و انتظارات ریاضی-II
همانطور که قبلاً با آن آشنا شدیم متغیر تصادفی گسسته، این متغیر تصادفی است که تعداد قابل شمارش مقادیر ممکن را در یک دنباله می گیرد. دو مفهوم مهم مربوط به متغیرهای تصادفی گسسته، احتمال متغیر تصادفی گسسته و تابع توزیع است که نام آن را به احتمال و تابع توزیع محدود می کنیم.
تابع جرم احتمال (pmf)
La تابع جرم احتمال احتمال متغیر تصادفی گسسته است، بنابراین برای هر متغیرهای تصادفی گسسته x1، ایکس2، ایکس3، ایکس4،……، ایکسk احتمالات مربوطه P(x1)، P(x2)، P(x3)، P(x4)……، P(xk) توابع جرم احتمال مربوطه هستند.
به طور خاص، برای X=a، P(a)=P(X=a) pmf آن است
ما اینجا به بعد استفاده می کنیم تابع جرم احتمال برای متغیرهای تصادفی گسسته احتمال همه مشخصه های احتمال برای احتمال بدیهی است که برای تابع جرم احتمال مانند مثبت بودن و مجموع همه pmf یک خواهد بود و غیره قابل اعمال است.
تابع توزیع تجمعی (cdf) / تابع توزیع
تابع توزیع به صورت تعریف شده است
F(x)=P(X<=x)
برای متغیر تصادفی گسسته با تابع جرم احتمال، تابع توزیع تجمعی (cdf) متغیر تصادفی است.
و انتظارات ریاضی برای چنین متغیر تصادفی ما تعریف کردیم بود
اکنون برخی از نتایج انتظارات ریاضی را می بینیم
- اگر x1، ایکس2، ایکس3، ایکس4,….. متغیرهای تصادفی گسسته با احتمالات مربوطه هستند P(x1)، P(x2)، P(x3)، P(x4) ... انتظار برای تابع مقدار واقعی g خواهد بود
مثال: برای توابع جرم احتمال زیر E(X را پیدا کنید3)
در اینجا g(X)=X3
پس
E (X3) = (-1)3 <em>0.2 + (0)3</em> 0.5 + (1)3 * 0.3
سابق3) = 0.1،XNUMX،XNUMX،XNUMX،XNUMX،XNUMX،XNUMX،XNUMX،XNUMX
به روشی مشابه برای هر مرتبه nام می توانیم بنویسیم
که به لحظه n معروف است.
2. اگر a و b ثابت هستند پس
E[aX + b]=aE[X] + b
این را به راحتی می توانیم درک کنیم
=aE[X] + b
واریانس از نظر انتظار.
برای میانگین نشان داده شده با μ، واریانس متغیر تصادفی گسسته X نشان داده شده با var(X) یا σ بر حسب انتظار خواهد بود.
Var(X) =E[(X- μ)2]
و این را می توانیم بیشتر به عنوان ساده سازی کنیم
Var(X) =E[(X- μ)2]
= E [X2] – 2μ2 + μ2
= E [X2] – μ2
این بدان معناست که ما می توانیم واریانس را به عنوان اختلاف انتظار متغیر تصادفی مربع و مربع انتظار متغیر تصادفی بنویسیم.
یعنی Var (X) = E[X2] - (سابق])2
مثال: وقتی یک قالب پرتاب می شود واریانس را محاسبه کنید.
راه حل: در اینجا ما می دانیم که چه زمانی احتمالات برای هر چهره خواهد بود
p(1)=p(2)=p(3)=p(4)=p(5)=p(6)=1/6
از این رو برای محاسبه واریانس انتظار متغیر تصادفی و مربع آن را خواهیم یافت
E[X]=1.(1/6)+2.(1/6)+3.(1/6)+4.(1/6)+5.(1/6)+6.(1/6)=(7/2)
سابق2] = 12.(1/6)+22.(1/6)+32.(1/6)+42.(1/6)+52.(1/6)+62.(1/6) =(1/6)(91)
و ما فقط واریانس را به عنوان به دست آوردیم
Var (X) =E[X2] - (سابق])2
so
Var (X)=(91/6) -(7/2)2 = 35/12
یکی از هویت مهم برای واریانس is
- برای ثابت های دلخواه a و b داریم
Var(aX + b) =a2 Var(X)
این را می توانیم به راحتی نشان دهیم
Var(aX + b) =E[(aX+ b -aμ-b)2 ]
=E[a2(X – μ)2]
=a2 E[(X-μ)2]
=a2 Var(X)
متغیر تصادفی برنولی
یک ریاضیدان سوئیسی جیمز برنولی تعریف می کند متغیر تصادفی برنولی به عنوان یک متغیر تصادفی که موفقیت یا شکست را تنها به عنوان دو نتیجه برای آزمایش تصادفی دارد.
یعنی زمانی که نتیجه موفقیت آمیز باشد X=1
هنگامی که نتیجه شکست X=0 است
بنابراین تابع جرم احتمال برای متغیر تصادفی برنولی است
p(0) = P{X=0}=1-p
p(1) =P{X=1}=p
که در آن p احتمال موفقیت و 1-p احتمال شکست خواهد بود.
در اینجا می‌توانیم 1-p=q را نیز در نظر بگیریم که q احتمال شکست است.
از آنجایی که این نوع متغیر تصادفی آشکارا گسسته است، بنابراین این متغیر یکی از متغیرهای تصادفی گسسته است.
مثال: پرتاب سکه.
متغیر تصادفی دو جمله ای
اگر برای یک آزمایش تصادفی که فقط نتیجه ای به عنوان موفقیت یا شکست دارد، n آزمایش انجام دهیم، بنابراین هر بار موفقیت یا شکست را دریافت می کنیم، متغیر تصادفی X که نشان دهنده نتیجه چنین آزمایش تصادفی n کارآزمایی است، به عنوان شناخته می شود. متغیر تصادفی دو جمله ای.
به عبارت دیگر اگر p تابع جرم احتمال موفقیت در آزمایش برنولی منفرد باشد و q=1-p احتمال شکست باشد، احتمال وقوع رویداد 'x یا i' بار در n آزمایش خواهد بود.
or
مثال: اگر دو سکه را شش بار پرتاب کنیم و سر به دست آوردن موفقیت باشد و باقیمانده اتفاقات شکست باشد، احتمال آن خواهد بود.
به روش مشابهی که می توانیم برای هر آزمایشی از این دست محاسبه کنیم.
La متغیر تصادفی دو جمله ای نام دارد دو جمله ای زیرا نشان دهنده گسترش است
اگر به جای n=1 قرار دهیم، این به متغیر تصادفی برنولی تبدیل می شود.
مثال: اگر پنج سکه پرتاب شود و نتیجه به طور مستقل گرفته شود، احتمال تعداد سرها چقدر خواهد بود.
در اینجا اگر متغیر تصادفی X را به عنوان تعداد هدها در نظر بگیریم، به متغیر تصادفی دو جمله ای با n=5 و احتمال موفقیت ½ تبدیل می شود.
بنابراین با پیروی از تابع جرم احتمال برای متغیر تصادفی دو جمله ای به دست خواهیم آورد
مثال:
در یک شرکت خاص احتمال نقص 0.01 از تولید است. این شرکت محصول را در بسته بندی 10 تایی تولید و به فروش می رساند و به مشتریان خود ضمانت بازگشت وجه ارائه می دهد که حداکثر 1 محصول از 10 محصول معیوب است، بنابراین شرکت باید چه نسبتی از بسته محصولات فروخته شده را جایگزین کند.
در اینجا اگر X متغیر تصادفی باشد که محصولات معیوب را نشان می دهد، از نوع دو جمله ای با n=10 و p=0.01 است، پس احتمال بازگشت بسته برابر است.
مثال: (چک-آ-لاک/ چرخ بخت) در یک بازی خاص در هتل، بازیکن روی هر یک از اعداد از 1 تا 6 شرط می‌بندد، سپس سه تاس می‌اندازد و اگر عدد ظاهر شد، بازیکن یک بار یا دو یا سه تاس می‌زند. بازیکن که تعداد واحدها به این معنی است که اگر یک بار ظاهر می شود، 1 واحد اگر روی دو تاس است، سپس 2 واحد و اگر روی سه تاس است، سپس 3 واحد، به کمک احتمال بررسی کنید که بازی برای بازیکن عادلانه است یا خیر.
اگر فرض کنیم هیچ وسیله غیرمنصفانه ای با تکنیک های تاس و کلاهبرداری وجود نخواهد داشت، با فرض مستقل نتیجه تاس، احتمال موفقیت برای هر تاس 1/6 است و شکست این خواهد بود.
1-1/6 بنابراین این تبدیل به مثال متغیر تصادفی دو جمله ای با n=3 می شود
بنابراین ابتدا با اختصاص x به عنوان برنده شدن بازیکنان، احتمال برنده شدن را محاسبه می کنیم
حال برای محاسبه بازی برای بازیکن عادلانه است یا خیر، انتظار متغیر تصادفی را محاسبه می کنیم
E[X] = -125+75+30+3/216
= -17/216
این به این معنی است که احتمال باخت بازی برای بازیکن زمانی که 216 بار بازی می کند 17 است.
نتیجه:
در این مقاله برخی از خصوصیات اساسی یک متغیر تصادفی گسسته، تابع جرم احتمال و واریانس را مورد بحث قرار دادیم. علاوه بر این، ما انواع مختلفی از متغیرهای تصادفی گسسته را دیده‌ایم، قبل از شروع متغیر تصادفی پیوسته، سعی می‌کنیم تمام انواع و ویژگی‌های متغیر تصادفی گسسته را پوشش دهیم، اگر می‌خواهید بیشتر بخوانید، به این موارد بروید:
طرح کلی احتمالات و آمار Schaum
https://en.wikipedia.org/wiki/Probability
برای موضوعات بیشتر در مورد ریاضیات لطفا دنبال کنید این لینک
