پس از بحث در مورد تعاریف و مفاهیم اساسی، ما تمام نتایج و روابط را فهرست می کنیم جایگشت و ترکیببسته به همه آنها با حل مثال های متفرقه بیشتر با مفهوم جایگشت و ترکیب آشنا می شویم.

نکات قابل یادآوری (جایگشت)

1. تعداد روش های سفارش = ⁿP_r={n(n-1)(n-2)…..(n-r+1)((nr)!)}/(nr)!= n!/{(nr)!}
2. تعداد چیدمان n شی مختلف با هم در یک زمان = است ⁿP_n =ن!
3. ⁿP₀ =n!/n!=1
4. P=n. ^n-1P_R-1
5. 0! = 1
6. 1/(-r)!=0، (-r)!=∞ (r∈ N)
7. تعداد روش‌های پر کردن r مکان که هر مکان را می‌توان با هر یک از n شیء پر کرد، تعداد جایگشت‌ها = تعداد روش‌های پر کردن r مکان =(n)^r   

مثال: چند عدد بین 999 تا 10000 را می توان با کمک اعداد 0، 2، 3,6,7,8،XNUMX،XNUMX،XNUMX ایجاد کرد که در آن ارقام نباید تکرار شوند؟

راه حل: اعداد بین 999 تا 10000 همگی اعداد چهار رقمی هستند.

                   اعداد چهار رقمی ساخته شده توسط ارقام 0، 2، 3,6,7,8،XNUMX،XNUMX،XNUMX عبارتند از

  اما در اینجا آن اعداد نیز دخیل هستند که از 0 شروع می‌شوند. بنابراین می‌توانیم اعدادی را که با سه رقم تشکیل شده‌اند، در نظر بگیریم.

با گرفتن رقم اولیه 0، تعداد روش های ترتیب دادن 3 مکان معلق از پنج رقم 2، 3,6,7,8،XNUMX،XNUMX،XNUMX هستند. ⁵P₃ =5!/(5-3)!=2!*3*4*5/2!= 60

بنابراین اعداد مورد نیاز = 360-60 = 300.

مثال: چند کتاب را می توان پشت سر هم قرار داد تا دو کتاب ذکر شده با هم نباشند؟

راه حل: تعداد کل سفارشات n کتاب مختلف =n!.                                                                                                                

           اگر دو کتاب ذکر شده همیشه با هم باشند، تعداد راه ها =(n-1)!x2

مثال: چند راه وجود دارد که بر 10 توپ بین دو پسر تقسیم می شود، یکی دو تا و دیگری هشت.

راه حل: A 2، B می گیرد  gets 8;  10!/2!8!=45

                  A 8، B می گیرد 2 می گیرد; 10!/(8!2!)=45

این یعنی 45+45=90 روش تقسیم توپ.

مثال: تعداد ترتیب حروف الفبای کلمه CALCUTTA را جستجو کنید.

راه حل: تعداد راه های مورد نیاز =8!/(2!2!2!)=5040

مثال: بیست نفر به مهمانی دعوت شده اند. چند راه مختلف که آنها و میزبان می توانند در یک میز گرد بنشینند، اگر دو نفر باید در هر دو طرف نگهبان بنشینند.

راه حل: در مجموع 20 + 1 = 21 نفر وجود خواهد داشت.

دو نفر مشخص شده و میزبان به عنوان یک واحد در نظر گرفته می شوند تا اینها 21 – 3 + 1 = 19 نفر باقی بمانند تا در 18 مرتب شوند! راه ها.

 اما دو فرد خاص در دو طرف میزبان خود را می توان در 2 مرتب کرد! راه ها.

  از این رو 2 وجود دارد! *18! راه ها.

مثال : به چند روش می توان از 10 گل یک گلدسته درست کرد.

راه حل:  n گلدسته گل را می توان در (n-1) ساخت! راه ها.

با استفاده از 10 گل حلقه گل را می توان به 9!/2 روش مختلف تهیه کرد.

مثال: عدد چهار رقمی مشخصی را که باید از 0، 1، 2، 3، 4، 5، 6، 7 تشکیل شود را بیابید تا هر عدد دارای عدد 1 باشد.

راه حل: پس از تثبیت 1 جایگاه اول از 4 مکان، 3 مکان را می توان پر کرد⁷P₃ =7!/(7-3)!=5*6*7=210 ways.

اما برخی از اعداد که رقم چهارم آنها صفر است، بنابراین این نوع راه ها =⁶P₂=6!/(6-2)!=20.

                   مجموع راه ها = ⁷P₃ - ⁶P₂ \u210d 20-180 \uXNUMXd XNUMX

این نکات را برای ترکیب در نظر داشته باشید

در ادامه به حل چند مثال می پردازیم  

مثال: If ¹⁵C_r=¹⁵C_r+5 ، پس مقدار r چقدر است؟

راه حل: در اینجا از موارد فوق استفاده خواهیم کرد

 ⁿC_r=ⁿC_شماره در سمت چپ معادله

¹⁵C_r=¹⁵C_r+5 => ¹⁵C_15-ر =¹⁵C_r+5

=> 15-r=r+5 => 2r=10 => r=10/2=5

بنابراین مقدار r 5 است، مشکل 15 را انتخاب کنید 5 را انتخاب کنید.

مثال: If ²ⁿC₃ : ⁿC₂ =44:3 مقدار r را پیدا کنید، به طوری که مقدار ⁿC_r  15 خواهد شد

 راه حل: در اینجا عبارت داده شده نسبت 2n را انتخاب کنید 3 و n را انتخاب کنید 2 را به عنوان

با تعریف ترکیب

(2n)!/{(2n-3)!x3!} X {2!x(n-2)!}/n!=44/3

=> (2n)(2n-1)(2n-2)/{3n(n-1)}=44/3

=> 4(2n-1)=44 =>2n=12 => n=6

                   اکنون ⁶C_r=15 => ⁶C_r=⁶C₂   or ⁶C₄ => r=2، 4

بنابراین مشکل این است که 6 را انتخاب کنید 2 یا 6 را انتخاب کنید 4

مثال:  If  ⁿC_R-1= 36 ⁿC_r=84 و ⁿC_r+1=126، پس مقدار r چقدر خواهد بود؟

 راه حل : اینجا ⁿC_R-1 / ⁿC_r =36/84 و ⁿC_r /ⁿC_r+1 =84/126.

(n)!/{(n-r+1)!x(r-1)!} X {(r)!x(nr)!}/(n)!=36/84

r/(n-r+1)=3/7 => 7r=3n-3r+3

=> 3n-10r=-3، و به طور مشابه از جیره دوم دریافت می کنیم

4n-10r=6

در حل، n=9، r=3 بدست می آوریم

بنابراین مشکل این است که 9 را انتخاب کنید 3، 9 را انتخاب کنید 2 و 9 را انتخاب کنید 4.

مثال: همه در اتاق با همه دست می دهند. تعداد کل دست دادن ها 66 است. تعداد افراد حاضر در اتاق را بیابید.

ⁿC₂ =66 => n!/{2!(n-2)!}=66 => n(n-1)=132 => n=12

راه حل: بنابراین مقدار n 12 است به این معنی که تعداد کل افراد در اتاق 12 است و مشکل 12 است 2 را انتخاب کنید.

مثال: در یک تورنمنت فوتبال 153 بازی انجام شد. همه تیم ها یک بازی انجام دادند. تعداد گروه های درگیر در مسابقات را بیابید.

راه حل:

اینجا کلیک نمایید ⁿC₂ =153 => n!/{2!(n-2)} = 153 => n(n-1)/2=153 => n=18

به طوری که تعداد کل تیم های شرکت کننده در این مسابقات 18 تیم بوده است ترکیب 18 است 2 را انتخاب کنید.

مثال در طول مراسم دیپاوالی، هر یک از اعضای باشگاه برای دیگران کارت تبریک می فرستد. اگر 20 عضو در باشگاه وجود داشته باشد، تعداد کل راه های رد و بدل شدن کارت های تبریک توسط اعضا چقدر خواهد بود.

راه حل: از آنجایی که دو عضو می توانند به دو روش یکدیگر را مبادله کنند، بنابراین 20 نفر می توانند 2 بار را انتخاب کنند

2 X ²⁰C₂ =2 x (20!)/{2!(20-2)!}=2*190=380، 380 راه برای تبادل کارت تبریک وجود خواهد داشت.

مثال: شش علامت به علاوه «+» و چهار علامت منهای «-» باید در یک خط مستقیم مرتب شوند تا هیچ دو علامت «-» به هم نرسند، تعداد کل راه‌ها را بیابید.

 راه حل: سفارش را می توان به صورت -+-+-+-+-+-+- تابلوهای (-) را می توان در 7 جای خالی (نکت دار) قرار داد.

از این رو تعداد راه های مورد نیاز = ⁷C₄ = 35.

مثال: If ⁿC₂₁ =ⁿC₆ ، سپس پیدا کنید ⁿC₁₅ =?

راه حل: داده ⁿC₂₁ =ⁿC₆

21+6=n => n=27

از این رو ²⁷C₁₅ =27!/{15!(27-15)!} =17383860

که 27 است 15 را انتخاب کنید.

نتیجه

برخی از مثال‌ها بسته به روابط و نتایج گرفته می‌شوند، به‌عنوان مثال‌هایی که می‌توانیم در مورد هر یک از نتایج بگیریم، اما نکته مهمی که در اینجا می‌خواهم نشان دهم این است که چگونه می‌توانیم از هر نتیجه‌ای بسته به موقعیت استفاده کنیم، اگر نیاز به مطالعه بیشتر دارید، می‌توانید از طریق محتوا یا در صورت داشتن هرگونه کمک شخصی، می‌توانید با ما تماس بگیرید و برخی از مطالب مرتبط را که می‌توانید از آنها بیابید، با ما تماس بگیرید:

برای موضوعات بیشتر در مورد ریاضیات، لطفاً این را بررسی کنید پیوند.

طرح کلی نظریه و مسائل ریاضیات گسسته شوم

https://en.wikipedia.org/wiki/Permutation

https://en.wikipedia.org/wiki/Combination