متغیر تصادفی عادی: 3 واقعیت مهم

متغیر تصادفی نرمال و توزیع نرمال

      متغیر تصادفی با مجموعه مقادیر غیرقابل شمارش به عنوان متغیر تصادفی پیوسته شناخته می شود و تابع چگالی احتمال با کمک ادغام به عنوان مساحت زیر منحنی توزیع پیوسته را به دست می دهد، اکنون یکی از پرکاربردترین و مکررترین متغیرهای تصادفی پیوسته را مورد توجه قرار می دهیم. یعنی متغیر تصادفی عادی که نام دیگری به عنوان متغیر تصادفی گاوسی یا توزیع گاوسی دارد.

متغیر تصادفی عادی

      متغیر تصادفی عادی، متغیر تصادفی پیوسته با تابع چگالی احتمال است

داشتن معنی μ و واریانس σ² به عنوان پارامترهای آماری و از نظر هندسی تابع چگالی احتمال دارای منحنی زنگوله ای است که در حدود میانگین μ متقارن است..

ما می دانیم که تابع چگالی احتمال احتمال کل را یک می باشد

با قرار دادن y= (x-μ)/σ

این یکپارچگی دوگانه را می توان با تبدیل آن به شکل قطبی حل کرد

که مقدار مورد نیاز است، بنابراین برای انتگرال I تأیید می شود.

• اگر X به طور معمول با پارامتر μ توزیع شود  و σ² سپس Y=aX+b نیز به طور معمول با پارامترهای aμ+b و a توزیع می شود²μ²

انتظارات و واریانس متغیر تصادفی نرمال

مقدار مورد انتظار متغیر تصادفی عادی و واریانسی که با کمک آن به دست می آوریم

که در آن X به طور معمول با پارامترهای میانگین توزیع می شود μ و انحراف استاندارد σ.

از آنجایی که میانگین Z صفر است بنابراین واریانس آن را داریم

با استفاده از ادغام توسط قطعات

برای متغیر Z تفسیر گرافیکی به شرح زیر است

و مساحت زیر منحنی برای این متغیر Z که به عنوان شناخته می شود متغیر نرمال استاندارد، آن برای مرجع (در جدول داده شده) محاسبه می شود، زیرا منحنی متقارن است، بنابراین برای مقدار منفی، مساحت با مقادیر مثبت برابر خواهد بود.

z	0.00	0.01	0.02	0.03	0.04	0.05	0.06	0.07	0.08	0.09
0.0	0.50000	0.50399	0.50798	0.51197	0.51595	0.51994	0.52392	0.52790	0.53188	0.53586
0.1	0.53983	0.54380	0.54776	0.55172	0.55567	0.55962	0.56356	0.56749	0.57142	0.57535
0.2	0.57926	0.58317	0.58706	0.59095	0.59483	0.59871	0.60257	0.60642	0.61026	0.61409
0.3	0.61791	0.62172	0.62552	0.62930	0.63307	0.63683	0.64058	0.64431	0.64803	0.65173
0.4	0.65542	0.65910	0.66276	0.66640	0.67003	0.67364	0.67724	0.68082	0.68439	0.68793
0.5	0.69146	0.69497	0.69847	0.70194	0.70540	0.70884	0.71226	0.71566	0.71904	0.72240
0.6	0.72575	0.72907	0.73237	0.73565	0.73891	0.74215	0.74537	0.74857	0.75175	0.75490
0.7	0.75804	0.76115	0.76424	0.76730	0.77035	0.77337	0.77637	0.77935	0.78230	0.78524
0.8	0.78814	0.79103	0.79389	0.79673	0.79955	0.80234	0.80511	0.80785	0.81057	0.81327
0.9	0.81594	0.81859	0.82121	0.82381	0.82639	0.82894	0.83147	0.83398	0.83646	0.83891
1.0	0.84134	0.84375	0.84614	0.84849	0.85083	0.85314	0.85543	0.85769	0.85993	0.86214
1.1	0.86433	0.86650	0.86864	0.87076	0.87286	0.87493	0.87698	0.87900	0.88100	0.88298
1.2	0.88493	0.88686	0.88877	0.89065	0.89251	0.89435	0.89617	0.89796	0.89973	0.90147
1.3	0.90320	0.90490	0.90658	0.90824	0.90988	0.91149	0.91308	0.91466	0.91621	0.91774
1.4	0.91924	0.92073	0.92220	0.92364	0.92507	0.92647	0.92785	0.92922	0.93056	0.93189
1.5	0.93319	0.93448	0.93574	0.93699	0.93822	0.93943	0.94062	0.94179	0.94295	0.94408
1.6	0.94520	0.94630	0.94738	0.94845	0.94950	0.95053	0.95154	0.95254	0.95352	0.95449
1.7	0.95543	0.95637	0.95728	0.95818	0.95907	0.95994	0.96080	0.96164	0.96246	0.96327
1.8	0.96407	0.96485	0.96562	0.96638	0.96712	0.96784	0.96856	0.96926	0.96995	0.97062
1.9	0.97128	0.97193	0.97257	0.97320	0.97381	0.97441	0.97500	0.97558	0.97615	0.97670
2.0	0.97725	0.97778	0.97831	0.97882	0.97932	0.97982	0.98030	0.98077	0.98124	0.98169
2.1	0.98214	0.98257	0.98300	0.98341	0.98382	0.98422	0.98461	0.98500	0.98537	0.98574
2.2	0.98610	0.98645	0.98679	0.98713	0.98745	0.98778	0.98809	0.98840	0.98870	0.98899
2.3	0.98928	0.98956	0.98983	0.99010	0.99036	0.99061	0.99086	0.99111	0.99134	0.99158
2.4	0.99180	0.99202	0.99224	0.99245	0.99266	0.99286	0.99305	0.99324	0.99343	0.99361
2.5	0.99379	0.99396	0.99413	0.99430	0.99446	0.99461	0.99477	0.99492	0.99506	0.99520
2.6	0.99534	0.99547	0.99560	0.99573	0.99585	0.99598	0.99609	0.99621	0.99632	0.99643
2.7	0.99653	0.99664	0.99674	0.99683	0.99693	0.99702	0.99711	0.99720	0.99728	0.99736
2.8	0.99744	0.99752	0.99760	0.99767	0.99774	0.99781	0.99788	0.99795	0.99801	0.99807
2.9	0.99813	0.99819	0.99825	0.99831	0.99836	0.99841	0.99846	0.99851	0.99856	0.99861
3.0	0.99865	0.99869	0.99874	0.99878	0.99882	0.99886	0.99889	0.99893	0.99896	0.99900
3.1	0.99903	0.99906	0.99910	0.99913	0.99916	0.99918	0.99921	0.99924	0.99926	0.99929
3.2	0.99931	0.99934	0.99936	0.99938	0.99940	0.99942	0.99944	0.99946	0.99948	0.99950
3.3	0.99952	0.99953	0.99955	0.99957	0.99958	0.99960	0.99961	0.99962	0.99964	0.99965
3.4	0.99966	0.99968	0.99969	0.99970	0.99971	0.99972	0.99973	0.99974	0.99975	0.99976
3.5	0.99977	0.99978	0.99978	0.99979	0.99980	0.99981	0.99981	0.99982	0.99983	0.99983

از آنجایی که ما از جایگزین استفاده کرده ایم

در اینجا به خاطر داشته باشید که Z یک متغیر عادی استاندارد است که در آن as متغیر تصادفی پیوسته X معمولاً توزیع می شود متغیر تصادفی نرمال با میانگین μ و انحراف استاندارد σ.

بنابراین برای یافتن تابع توزیع برای متغیر تصادفی از تبدیل به متغیر نرمال استاندارد به عنوان استفاده می کنیم

برای هر مقدار از a.

مثال: در منحنی نرمال استاندارد، مساحت بین نقاط 0 و 1.2 را پیدا کنید.

اگر جدول را دنبال کنیم مقدار 1.2 زیر ستون 0 0.88493 و مقدار 0 0.5000 است.

مثال: ناحیه منحنی نرمال استاندارد را در محدوده -0.46 تا 2.21 پیدا کنید.

از ناحیه سایه‌دار می‌توانیم این ناحیه را از 0.46- به 0 و 0 به 2.21 تقسیم کنیم، زیرا منحنی نرمال حول محور y متقارن است، بنابراین منطقه از 0.46- تا 0 برابر با 0-0.46 است، بنابراین از جدول.

و

بنابراین می توانیم آن را به صورت بنویسیم

مساحت کل =(مساحت بین z = -0.46 و z=0) + (مساحت بین z =0 و z=2.21)

= 0.1722 + 0.4864

= 0.6586

مثال: اگر X متغیر تصادفی نرمال با میانگین 3 و واریانس 9 باشد، احتمالات زیر را پیدا کنید

P2

P{X>0}

P|X-3|>6

راه حل: از زمانی که داریم

بنابراین با انشعاب به بازه های 1/3- تا 0 و 0 تا 2/3 راه حل را از مقادیر جدولی بدست می آوریم.

or

=0.74537 -1 + 0.62930 = 0.37467

و

مثال: یک ناظر در مورد پدری بیان می کند که طول (به روز) رشد انسان

به طور معمول با پارامترهای میانگین 270 و واریانس 100 توزیع می شود. در این مورد مظنونی که پدر کودک است مدرکی ارائه می دهد که در مدتی که 290 روز قبل از تولد کودک شروع شده و 240 روز زودتر به پایان رسیده است، در خارج از کشور بوده است. تولد. احتمال اینکه مادر می توانسته حاملگی بسیار طولانی یا بسیار کوتاهی را که شاهد نشان می دهد داشته باشد را پیدا کنید؟

اجازه دهید X نشان دهنده متغیر تصادفی توزیع شده عادی برای بارداری باشد و مظنون را پدر کودک در نظر بگیرید. در این صورت تولد فرزند در زمان مشخص شده احتمال دارد

رابطه بین متغیر تصادفی عادی و متغیر تصادفی دو جمله ای

      در مورد توزیع دوجمله‌ای، میانگین np و واریانس آن npq است، بنابراین اگر چنین متغیر تصادفی دوجمله‌ای را با چنین میانگین و انحراف استاندارد تبدیل کنیم که n بسیار بزرگ دارد و p یا q بسیار کوچک هستند که به صفر نزدیک‌تر می‌شوند، متغیر عادی استاندارد Z با کمک این میانگین و واریانس است

در اینجا از نظر آزمایشات برنولی X تعداد موفقیت در n آزمایش را در نظر می گیرد. همانطور که n افزایش می یابد و به بی نهایت نزدیکتر می شود، این متغیر نرمال به همان ترتیب تبدیل به متغیر نرمال استاندارد می شود.

رابطه دو جمله ای و متغیر نرمال استاندارد را می توانیم با کمک قضیه زیر پیدا کنیم.

قضیه حدی لاپلاس DeMoivre

If S_n تعداد موفقیت هایی را نشان می دهد که وقتی n رخ می دهد  کارآزمایی‌های مستقل، که هر کدام به موفقیت با احتمال p ، انجام می شود، سپس، برای هر a <b

مثال: با کمک تقریب نرمال به متغیر تصادفی دو جمله ای احتمال وقوع 20 برابر دم را در زمانی که یک سکه منصفانه 40 بار پرتاب می شود، پیدا کنید.

راه حل: فرض کنید متغیر تصادفی X نشان دهنده وقوع دم است، زیرا متغیر تصادفی دو جمله ای متغیر تصادفی گسسته است و متغیر تصادفی معمولی متغیر تصادفی پیوسته است، بنابراین برای تبدیل گسسته به پیوسته، آن را به صورت می نویسیم.

و اگر مثال داده شده را با کمک توزیع دوجمله ای حل کنیم، آن را به صورت می گیریم

مثال: برای تصمیم گیری در مورد کارایی یک ماده غذایی قطعی در کاهش میزان کلسترول در گردش خون، 100 نفر روی تغذیه قرار می گیرند. شمارش کلسترول برای مدت زمان معین پس از ارائه غذا مشاهده شد. اگر از این نمونه 65 درصد دارای کلسترول پایین باشند، تغذیه تایید می شود. اگر واقعاً تأثیری بر سطح کلسترول نداشته باشد، احتمال اینکه متخصص تغذیه تغذیه جدید را تأیید کند چقدر است؟

راه حل:  اجازه دهید متغیر تصادفی سطح کلسترول را در صورت کاهش با تغذیه بیان کند، بنابراین احتمال چنین متغیر تصادفی برای هر فرد ½ خواهد بود، اگر X نشان دهنده تعداد سطح پایین افراد باشد، احتمال آن که نتیجه تایید شده است، حتی اگر هیچ تاثیری از تغذیه وجود نداشته باشد. کاهش سطح کلسترول است

نتیجه:

   در این مقاله مفهوم متغیر تصادفی پیوسته یعنی نرمال متغیر تصادفی و توزیع آن با تابع چگالی احتمال مورد بحث قرار گرفت و پارامتر آماری میانگین، واریانس برای متغیر تصادفی نرمال آورده شده است. تبدیل متغیر تصادفی توزیع شده نرمال به متغیر نرمال استاندارد جدید و سطح زیر منحنی برای چنین متغیر نرمال استاندارد به شکل جدول یکی از داده شده است. رابطه با متغیر تصادفی گسسته نیز با مثال ذکر شده است ، اگر می خواهید بیشتر بخوانید، به ادامه مطلب بروید:

طرح کلی احتمالات و آمار Schaum

https://en.wikipedia.org/wiki/Probability.

برای موضوعات بیشتر در مورد ریاضی لطفا بررسی کنید این صفحه.