توابع تولید لحظه: 13 واقعیت مهم

تابع تولید لحظه    

تابع مولد ممان تابع بسیار مهمی است که ممان های متغیر تصادفی را تولید می کند که شامل میانگین، انحراف معیار و واریانس و غیره است، بنابراین تنها با کمک تابع مولد ممان می توان گشتاورهای پایه و همچنین گشتاورهای بالاتر را پیدا کرد. توابع تولید لحظه برای متغیرهای تصادفی گسسته و پیوسته مختلف را مشاهده خواهد کرد. از آنجایی که تابع تولید لحظه (MGF) با کمک انتظارات ریاضی که با M(t) نشان داده می شود، تعریف می شود.

و با استفاده از تعریف انتظار برای متغیر تصادفی گسسته و پیوسته این تابع خواهد بود

که با جایگزینی مقدار t به عنوان صفر، گشتاورهای مربوطه را ایجاد می کند. این ممان‌ها را باید با متمایز کردن این تابع مولد لحظه جمع‌آوری کنیم، به عنوان مثال برای لحظه اول یا میانگینی که می‌توانیم با تفکیک یک بار به عنوان به دست آوریم.

این نشان می دهد که تمایز تحت انتظار قابل تعویض است و ما می توانیم آن را به عنوان بنویسیم

و

اگر t=0 لحظات فوق خواهد بود

و

به طور کلی می توان گفت که

از این رو

تابع مولد ممان توزیع دو جمله ای||تابع تولید لحظه توزیع دو جمله ای||MGF توزیع دو جمله ای||میانگین و واریانس توزیع دو جمله ای با استفاده از تابع مولد گشتاور

تابع مولد لحظه برای متغیر تصادفی X که توزیع دوجمله ای است تابع احتمال توزیع دو جمله ای با پارامترهای n و p به عنوان

که حاصل قضیه دوجمله ای است، اکنون با تفکیک و قرار دادن مقدار t=0

که میانگین یا لحظه اول توزیع دوجمله ای است به طور مشابه لحظه دوم خواهد بود

بنابراین واریانس توزیع دو جمله ای خواهد بود

که میانگین و واریانس استاندارد توزیع دوجمله ای است، به طور مشابه گشتاورهای بالاتر را نیز می توانیم با استفاده از این تابع مولد گشتاور پیدا کنیم.

تابع تولید لحظه از پواسون توزیع||پواسون تابع تولید لحظه توزیع||MGF از پواسون توزیع||میانگین و واریانس توزیع پواسون با استفاده از تابع مولد گشتاور

 اگر متغیر تصادفی X را داشته باشیم که پواسون با پارامتر Lambda توزیع شده است، تابع تولید لحظه برای این توزیع خواهد بود.

در حال حاضر افتراق این خواهد داد

این می دهد

که میانگین و واریانس توزیع پواسون را یکسان می دهد که درست است

تابع مولد لحظه توزیع نمایی||نمایی تابع تولید لحظه توزیع||MGF از نمایی توزیع||میانگین و واریانس نمایی توزیع با استفاده از تابع تولید لحظه

                تابع تولید لحظه برای متغیر تصادفی نمایی X با پیروی از تعریف است

در اینجا مقدار t کمتر از پارامتر لامبدا است، اکنون با متمایز کردن این امر به دست می‌آید

که لحظات را فراهم می کند

به وضوح

که میانگین و واریانس توزیع نمایی هستند.

تابع مولد لحظه توزیع نرمال||نورماl تابع مولد لنگر توزیع||MGF از نورماl توزیع||میانگین و واریانس طبیعی توزیع با استفاده از تابع تولید لحظه

  تابع مولد ممان برای توزیع های پیوسته نیز مانند تابع گسسته است، بنابراین تابع مولد لحظه برای توزیع نرمال با تابع چگالی احتمال استاندارد خواهد بود.

این ادغام را می توانیم با تنظیم به عنوان حل کنیم

از آنجایی که مقدار ادغام 1 است. بنابراین تابع تولید لحظه برای متغیر نرمال استاندارد خواهد بود

با استفاده از این رابطه، می‌توانیم برای هر متغیر تصادفی عادی، تابع تولید لحظه را پیدا کنیم

بنابر این

بنابراین تفاوت به ما می دهد

بنابر این

بنابراین واریانس خواهد بود

تابع تولید لحظه مجموع متغیرهای تصادفی

La تابع تولید لحظه از مجموع متغیرهای تصادفی خاصیت مهمی به دست می‌آید که برابر حاصلضرب تابع مولد گشتاور متغیرهای تصادفی مستقل مربوطه است که برای متغیرهای تصادفی مستقل X و Y است، سپس تابع مولد لحظه برای مجموع متغیر تصادفی X+Y است.

در اینجا توابع مولد لحظه ای هر X و Y مستقل هستند ویژگی انتظارات ریاضی. در توالی ما مجموع توابع مولد گشتاور توزیع های مختلف را خواهیم یافت.

مجموع متغیرهای تصادفی دو جمله ای

اگر متغیرهای تصادفی X و Y به ترتیب با توزیع دوجمله‌ای با پارامترهای (n,p) و (m,p) توزیع شوند، تابع مولد گشتاور حاصل جمع X+Y آنها خواهد بود.

که در آن پارامترهای حاصل جمع (n+m,p) است.

مجموع متغیرهای تصادفی پواسون

توزیع برای مجموع متغیرهای تصادفی مستقل X و Y با میانگین های مربوطه که با توزیع پواسون توزیع می شوند را می توان به صورت

جایی که

میانگین متغیر تصادفی پواسون X+Y است.

مجموع متغیرهای تصادفی عادی

     مستقل را در نظر بگیرید متغیرهای تصادفی عادی X و Y با پارامترها

سپس برای مجموع متغیرهای تصادفی X+Y با پارامترها

بنابراین تابع تولید لحظه خواهد بود

که تابع تولید لحظه با میانگین و واریانس افزایشی است.

مجموع تعداد تصادفی متغیرهای تصادفی

برای یافتن تابع مولد لحظه از مجموع تعداد تصادفی متغیرهای تصادفی، متغیر تصادفی را فرض کنیم.

که در آن متغیرهای تصادفی X₁,X₂، ... دنباله ای از متغیرهای تصادفی از هر نوع هستند که مستقل هستند و به طور یکسان توزیع می شوند، سپس تابع تولید لحظه خواهد بود.

که تابع مولد گشتاور Y را در تمایز به عنوان می دهد

از این رو

به همین ترتیب تمایز دو بار به دست خواهد آمد

که می دهند

بنابراین واریانس خواهد بود

مثالی از متغیر تصادفی مجذور کای

تابع مولد گشتاور متغیر تصادفی مجذور کای را با n درجه آزادی محاسبه کنید.

راه حل: متغیر تصادفی مجذور کای را با n درجه آزادی در نظر بگیرید

دنباله متغیرهای نرمال استاندارد و سپس تابع تولید لحظه خواهد بود

بنابراین می دهد

چگالی نرمال با میانگین 0 و واریانس σ² به 1 ادغام می شود

که تابع مولد گشتاور مورد نیاز n درجه آزادی است.

مثالی از متغیر تصادفی یکنواخت

تابع مولد گشتاور متغیر تصادفی X را بیابید که به صورت دوجمله ای با پارامترهای n و p توزیع شده است. مشروط متغیر تصادفی Y=p در بازه (0,1،XNUMX)

راه حل: برای یافتن تابع مولد گشتاور متغیر تصادفی X با Y

با استفاده از توزیع دو جمله ای، sin Y متغیر تصادفی یکنواخت در بازه (0,1،XNUMX) است.

تابع تولید لحظه مشترک

تابع تولید لحظه مشترک برای n عدد از متغیرهای تصادفی X₁,X₂،…،ایکس_n

جایی که تی₁,t₂،……ت_n اعداد واقعی هستند، از تابع مولد لحظه مشترک می‌توانیم تابع مولد گشتاور فردی را به عنوان پیدا کنیم

قضیه: متغیرهای تصادفی X₁,X₂،…،ایکس_n مستقل هستند اگر و تنها در صورتی که تابع تولید ممنت مشترک باشند

اثبات: فرض کنید که متغیرهای تصادفی داده شده X₁,X₂،…،ایکس_n پس مستقل هستند

حال فرض کنید که تابع مولد ممان مشترک معادله را برآورده می کند

• برای اثبات متغیرهای تصادفی X₁,X₂،…،ایکس_n مستقل هستند، نتیجه داریم که تابع مولد ممان مشترک به طور منحصر به فرد توزیع مشترک را می دهد (این یک نتیجه مهم دیگر است که نیاز به اثبات دارد) بنابراین باید توزیع مشترکی داشته باشیم که نشان دهد متغیرهای تصادفی مستقل هستند، بنابراین شرط لازم و کافی ثابت می شود.

مثالی از تابع تولید لحظه مشترک

1. تابع تولید ممان مشترک متغیر تصادفی X+Y و XY را محاسبه کنید

راه حل: از آنجایی که مجموع متغیرهای تصادفی X+Y و تفریق متغیرهای تصادفی XY مانند متغیرهای تصادفی مستقل X و Y مستقل هستند، بنابراین تابع تولید گشتاور مشترک برای اینها خواهد بود.

از آنجایی که این تابع مولد گشتاور توزیع مشترک را تعیین می کند، بنابراین می توانیم X+Y و XY متغیرهای تصادفی مستقل هستند.

2. برای آزمایش تعداد رویدادهای شمارش شده و شمارش نشده توزیع شده توسط توزیع پواسون با احتمال p و میانگین λ را در نظر بگیرید، نشان دهید که تعداد رویدادهای شمارش شده و شمارش نشده با میانگین های مربوطه λp و λ(1-p) مستقل هستند.

راه حل: X را به عنوان تعداد رویدادها و X را در نظر می گیریم_c تعداد رویدادهای شمارش شده بنابراین تعداد رویدادهای شمارش نشده XX است_cتابع تولید لحظه مشترک لحظه تولید می کند

و با تولید تابع لحظه ای توزیع دوجمله ای

و برداشتن توقع از اینها خواهد داد

نتیجه:

با استفاده از تعریف استاندارد تابع مولد گشتاور، گشتاورهای توزیع‌های مختلف مانند دوجمله‌ای، سم، نرمال و غیره مورد بحث قرار گرفت و مجموع این متغیرهای تصادفی، تابع مولد ممان گسسته یا پیوسته برای آن‌ها و تابع مولد گشتاور مشترک با استفاده از آن به دست آمد. نمونه های مناسب، اگر نیاز به مطالعه بیشتر دارید، کتاب های زیر را مطالعه کنید.

برای مقالات بیشتر در مورد ریاضیات، لطفاً به ما مراجعه کنید صفحه ریاضی.

اولین دوره در احتمال توسط شلدون راس

طرح کلی احتمالات و آمار Schaum

مقدمه ای بر احتمال و آمار توسط روحتگی و صالح