11 واقعیت در مورد انتظارات ریاضی و متغیر تصادفی

انتظارات ریاضی و متغیر تصادفی    

     انتظارات ریاضی نقش بسیار مهمی در تئوری احتمال دارد، تعریف اولیه و ویژگی‌های اساسی انتظار ریاضی که قبلاً در مقاله‌های قبلی به آن پرداخته‌ایم، اکنون پس از بحث در مورد توزیع‌ها و انواع توزیع‌ها، در مقاله زیر با موارد بیشتری آشنا می‌شویم. ویژگی های پیشرفته انتظارات ریاضی

انتظار مجموع متغیرهای تصادفی | انتظار تابع متغیرهای تصادفی | انتظار توزیع احتمال مشترک

     می دانیم که انتظار ریاضی از متغیر تصادفی با طبیعت گسسته است

و برای پیوسته است

در حال حاضر برای متغیر تصادفی X و Y اگر گسسته پس با مفصل عملکرد توده احتمال p(x,y)

انتظار تابع متغیر تصادفی X و Y خواهد بود

و اگر پیوسته باشد، با تابع چگالی احتمال مشترک f(x,y) انتظار تابع متغیر تصادفی X و Y خواهد بود.

اگر g جمع این دو متغیر تصادفی به صورت پیوسته باشد

و اگر برای متغیرهای تصادفی X و Y داشته باشیم

X>Y

سپس انتظار نیز

مثال

یک بیمارستان Covid-19 به طور یکنواخت در جاده به طول L در نقطه X توزیع شده است، یک وسیله نقلیه حامل اکسیژن برای بیماران در مکان Y است که همچنین به طور یکنواخت در جاده توزیع شده است، فاصله مورد انتظار بین بیمارستان Covid-19 را پیدا کنید. و وسیله نقلیه حامل اکسیژن اگر مستقل باشند.

راه حل:

برای یافتن فاصله مورد انتظار بین X و Y باید E { | را محاسبه کنیم XY | }

حالا تابع چگالی مشترک X و Y خواهد بود

پس از

با دنبال کردن این داریم

اکنون مقدار انتگرال خواهد بود

بنابراین فاصله مورد انتظار بین این دو نقطه خواهد بود

میانگین انتظارات نمونه

  به عنوان میانگین نمونه دنباله ای از متغیرهای تصادفی X₁، ایکس₂، ………، ایکس_n با تابع توزیع F و مقدار مورد انتظار هر یک به عنوان μ است

بنابراین انتظار از این نمونه میانگین خواهد بود

که نشان می دهد مقدار مورد انتظار میانگین نمونه نیز μ است.

نابرابری بول

                بول نابرابری را می توان با کمک ویژگی ها به دست آورد از انتظارات، فرض کنید متغیر تصادفی X به عنوان تعریف شده است

جایی که

اینجا A_i 's رویدادهای تصادفی هستند، این بدان معناست که متغیر تصادفی X نشان دهنده وقوع تعداد رویدادهای A است._i و یک متغیر تصادفی دیگر Y به عنوان

به وضوح

X>=Y

E[X] >= E[Y]

و همینطور است

حال اگر مقدار متغیر تصادفی X و Y را در نظر بگیریم این انتظار خواهد بود

و

با جایگزینی این انتظارات در نابرابری فوق، نابرابری بول را به عنوان دریافت خواهیم کرد

انتظار متغیر تصادفی Binomial | میانگین متغیر تصادفی دو جمله ای

  ما می دانیم که متغیر تصادفی دوجمله ای متغیر تصادفی است که تعداد موفقیت در n آزمایش مستقل را با احتمال موفقیت به صورت p و شکست را به صورت q=1-p نشان می دهد، بنابراین اگر

X=X₁ + X₂+…….+ X_n

جایی که

اینجا این X_i هستند برنولی و انتظار خواهد بود

بنابراین انتظار X خواهد بود

انتظار متغیر تصادفی دو جمله ای منفی | میانگین متغیر تصادفی دو جمله ای منفی

  اجازه دهید یک متغیر تصادفی X که تعداد آزمایش‌های مورد نیاز برای جمع‌آوری موفقیت‌های r را نشان می‌دهد، آنگاه چنین متغیر تصادفی به عنوان متغیر تصادفی دوجمله‌ای منفی شناخته می‌شود و می‌توان آن را به صورت بیان کرد.

اینجا هر X_i تعداد آزمایش‌های مورد نیاز پس از موفقیت (i-1) برای به دست آوردن مجموع موفقیت‌های i را نشان می‌دهد.

از آنجایی که هر یک از این X_i نشان دهنده متغیر تصادفی هندسی است و ما می دانیم که انتظار برای متغیر تصادفی هندسی این است

so

که هست انتظار متغیر تصادفی دو جمله ای منفی

انتظار متغیر تصادفی فرا هندسی | میانگین متغیر تصادفی فرا هندسی

انتظار یا میانگین متغیر تصادفی فراهندسی را با کمک یک مثال واقعی ساده بدست می آوریم، اگر n تعداد کتاب به طور تصادفی از قفسه ای حاوی N کتاب که m ریاضی هستند انتخاب شود، آنگاه تعداد مورد انتظار را پیدا کنیم. کتاب‌های ریاضی اجازه می‌دهند X تعداد کتاب‌های ریاضی انتخاب شده را نشان دهد، سپس می‌توانیم X را به‌عنوان بنویسیم

جایی که

so

=n/N

که می دهد

که میانگین چنین متغیر تصادفی فوق هندسی است.

تعداد مسابقات مورد انتظار

   این یک مشکل بسیار رایج در رابطه با انتظار است، فرض کنید در یک اتاق N تعداد نفر وجود دارد که کلاه های خود را وسط اتاق پرتاب می کنند و همه کلاه ها مخلوط می شوند و بعد از آن هر نفر به طور تصادفی یک کلاه را انتخاب می کند و سپس تعداد افراد مورد انتظار را انتخاب می کند. کسانی که کلاه خود را انتخاب می‌کنند، می‌توانیم با اجازه دادن به X به تعداد منطبقات به دست آوریم

جایی که

از آنجایی که هر فرد فرصت برابری برای انتخاب هر یک از کلاه از N کلاه دارد

so

یعنی دقیقاً یک نفر به طور متوسط ​​کلاه خود را انتخاب می کند.

احتمال اتحاد رویدادها

     اجازه دهید احتمال اتحاد رویدادها را با کمک انتظار به دست آوریم، بنابراین برای رویدادهای A_i

با این ما می گیریم

بنابراین انتظار از این خواهد بود

و گسترش با استفاده از ویژگی انتظار به عنوان

از آنجایی که داریم

و

so

این دلالت بر احتمال اتحاد به عنوان

مرزهای انتظار با استفاده از روش احتمالی

    فرض کنید S یک مجموعه متناهی است و f تابع عناصر S و است

در اینجا می‌توانیم کران پایینی این m را با انتظار f(s) بدست آوریم که در آن "s" هر عنصر تصادفی S است که انتظار آن را می‌توانیم محاسبه کنیم.

در اینجا ما انتظار را به عنوان کران پایین برای حداکثر مقدار دریافت می کنیم

هویت حداکثر-حداقل

 حداکثر حداقل هویت حداکثر مجموعه اعداد به مینیمم های زیر مجموعه این اعداد است که برای هر عدد x است._i

برای نشان دادن این اجازه دهید x را محدود کنیم_i در بازه [0,1،0,1]، یک متغیر تصادفی یکنواخت U را در بازه (XNUMX،XNUMX) و رویدادهای A فرض کنید._i زیرا متغیر یکنواخت U کمتر از x است_i است که

از آنجایی که حداقل یکی از رویدادهای فوق رخ می دهد زیرا U کمتر از یک مقدار x است_i

و

به وضوح می دانیم

و اگر U کمتر از همه متغیرها و باشد، همه رویدادها رخ خواهند داد

احتمال می دهد

ما نتیجه احتمال اتحاد را داریم

به دنبال این فرمول حذف شمول برای احتمال

در نظر

این می دهد

پس از

که بدان معنی است

• از این رو می توانیم آن را به صورت بنویسیم

با در نظر گرفتن انتظار می‌توانیم مقادیر مورد انتظار حداقل‌های حداکثر و جزئی را پیدا کنیم

نتیجه:

انتظارات از نظر توزیع های مختلف و همبستگی انتظارات با برخی از نظریه احتمالی مفاهیم تمرکز این مقاله بود که استفاده از انتظار را به عنوان ابزاری برای بدست آوردن مقادیر مورد انتظار از متغیرهای تصادفی مختلف نشان می‌دهد، در صورت نیاز به مطالعه بیشتر، کتاب‌های زیر را مطالعه کنید.

برای مقالات بیشتر در مورد ریاضیات، لطفاً به ما مراجعه کنید صفحه ریاضی.

https://en.wikipedia.org/wiki/Expectation

اولین دوره در احتمال توسط شلدون راس

طرح کلی احتمالات و آمار Schaum

مقدمه ای بر احتمال و آمار توسط روحتگی و صالح