مکان در هندسه مختصات دوبعدی
لوکوس یک کلمه لاتین است. از کلمه "مکان" یا "مکان" گرفته شده است. جمع جایگاه، Loci است.
تعریف مکان:
در هندسه، "مکان" مجموعه ای از نقاط است که یک یا چند شرایط مشخص شده از یک شکل یا شکل را برآورده می کند. در ریاضیات مدرن، مکان یا مسیری که نقطه ای در صفحه با شرایط هندسی داده شده در آن حرکت می کند، مکان نقطه نامیده می شود.
مکان برای خط، پاره خط و اشکال منحنی منظم یا نامنظم به جز اشکالی که در هندسه دارای رأس یا زوایای داخل آنها هستند، تعریف می شود. https://en.wikipedia.org/wiki/Coordinate_system
نمونه هایی در Locus:
خطوط، دایره، بیضی، سهمی، هذلولی و غیره همه این اشکال هندسی توسط مکان نقاط تعریف می شوند.
معادله مکان:
شکل جبری خصوصیات هندسی یا شرایطی که با مختصات تمام نقاط روی مکان برآورده می شود، به عنوان معادله مکان آن نقاط شناخته می شود.
روش به دست آوردن معادله مکان:
برای یافتن معادله مکان یک نقطه متحرک در یک صفحه، فرآیندی را که در زیر توضیح داده شده است دنبال کنید
(i) ابتدا مختصات یک نقطه متحرک در یک صفحه را (h,k) فرض کنید.
(ii) دوم، یک معادله جبری با h و k از شرایط یا ویژگی های هندسی داده شده استخراج کنید.
(iii) سوم، h و k را به ترتیب با x و y در معادله فوق جایگزین کنید. حال این معادله را معادله مکان نقطه متحرک در صفحه می نامند. (x,y) مختصات فعلی نقطه متحرک است و معادله مکان باید همیشه به صورت x و y یعنی مختصات فعلی استخراج شود.
در اینجا چند مثال برای روشن کردن مفهوم در مورد مکان وجود دارد.
4+ انواع مختلف مشکلات حل شده در Locus:
مسئله 1: If P هر نقطه ای از صفحه XY باشد که از دو نقطه داده شده به یک اندازه فاصله داشته باشد الف (3,2) و B (2,-1) در همان صفحه، سپس مکان و معادله مکان نقطه P را با نمودار پیدا کنید.
راه حل:
فرض کنید مختصات هر نقطه در مکان P در XY-plane هستند (h، k).
از آنجایی که P از A و B مساوی فاصله دارد، می توانیم بنویسیم
فاصله P از A=فاصله P از B
یا، |PA|=|PB|
یا، (h2 -6h+9+k2 -4k+4) = (h2 -4h+4+k2 +2k+1)——– مربع را به دو طرف می گیریم.
یا، h2 -6h+13+k2 -4k -h2+4h-5-k2 -2k = 0
یا، -2h -6k+8 = 0
یا h+3k -4 = 0
یا h+3k = 4 ——– (1)
این معادله درجه اول h و k است.
حال اگر h و k با x و y جایگزین شوند، معادله (1) تبدیل به معادله درجه اول x و y به شکل x + 3y = 4 می شود که نشان دهنده یک خط مستقیم است.
بنابراین، مکان نقطه P(h، k) در صفحه XY یک خط مستقیم است و معادله مکان x + 3y = 4 است. (پاسخ)
مسئله 2: اگر یک نقطه R در هواپیمای XY به گونه ای حرکت می کند که RA: RB = 3:2 جایی که مختصات نقاط A و B هستند (-5,3) و (2,4) به ترتیب در همان صفحه، سپس مکان نقطه R را پیدا کنید.
معادله منبع R چه نوع منحنی را نشان می دهد؟
راه حل: فرض کنید مختصات هر نقطه در مکان نقطه داده شده باشد R در XY-plane be (متر ، ن).
شرط داده شده آسپر RA: RB = 3:2,
ما داریم،
(فاصله R از A) / (فاصله R از B) = 3/2
یا، (م2 +10m+34+n2 -6n) / (m2 -4m+n2 -8n+20) =9/4 ———– مربع را به دو طرف می گیریم.
یا، 4 (متر2 +10m+34+n2 -6n) = 9 (m2 -4m+n2 -8n+20)
یا 4 متر2 +40m+136+4n2 -24n = 9 متر2 -36m+9n2 -72n+180)
یا 4 متر2 +40m+136+4n2 -24n - 9 متر2 +36m-9n2 +72n-180 = 0
یا، -5 متر2 +76m-5n2+48n-44 = 0
یا، 5 (متر2+n2)-76m+48n+44 = 0 ———-(1)
این معادله درجه دوم m و n است.
حال اگر m و n با x و y جایگزین شوند، معادله (1) تبدیل به معادله درجه دوم x و y به شکل 5 (x) می شود.2+y2)-76x+48y+44 = 0 که ضرایب x2 و ی2 یکسان هستند و ضریب xy صفر است. این معادله یک دایره را نشان می دهد.
بنابراین، مکان نقطه R(m, n) در صفحه XY یک دایره است و معادله مکان:
5 (x2+y2)-76x+48y+44 = 0 (پاسخ)
مسئله 3: برای تمام مقادیر (θ,aCosθ,bSinθ) مختصات یک نقطه P است که در صفحه XY حرکت می کند. معادله مکان P را پیدا کنید.
راه حل: اجازه دهید (h, k) مختصات هر نقطه ای باشد که روی مکان P در صفحه XY قرار دارد.
سپس به عنوان سوال، می توانیم بگوییم
h= a Cosθ
یا h/a = Cosθ —————(1)
و k = b Sinθ
یا، k/b = Sinθ —————(2)
حالا هر دو معادله (1) و (2) را مربع می گیریم و سپس با هم جمع می کنیم، معادله را داریم
h2/a2 +k2/b2 = Cos2θ + گناه2θ
یا، h2/a2 +k2/b2 = 1 (از آنجا که Cos2θ + گناه2θ = 1 در مثلثات)
بنابراین معادله مکان نقطه P x است2/a2 + و2/b2 = 1 (پاسخ)
مسئله 4: معادله مکان نقطه Q را که روی صفحه XY حرکت می کند، پیدا کنید، اگر مختصات Q باشد.
که در آن u پارامتر متغیر است.
راه حل : بگذارید مختصات هر نقطه در مکان نقطه داده شده Q در حالی که روی صفحه XY حرکت می کند (h, k) باشد.
سپس، h = 
و k = 
یعنی h(3u+2) = 7u-2 و k(u-1) = 4u+5
یعنی (3h-7)u = -2h-2 و (k-4)u = 5+k
یعنی تو =
—————(1)
و u = 
—————(2)
حال با معادل سازی معادلات (1) و (2) به دست می آوریم، 
یا، (-2h-2)(k-4) = (3h-7)(5+k)
یا، -2hk+8h-2k+8 = 15h+3hk-35-7k
یا، -2hk+8h-2k-15h-3hk+7k = -35-8
یا -5hk-7h+5k = -43
یا، 5hk+7h-5k = 43
بنابراین معادله منبع Q 5xy+7x-5y = 43 است.
مثال‌های بیشتر در Locus با پاسخ‌هایی برای تمرین توسط خودتان:
مشکلات 5: اگر θ یک متغیر و u ثابت باشد، معادله مکان نقطه تقاطع دو خط مستقیم x Cosθ + y Sinθ = u و x Sinθ- y Cosθ = u را بیابید. (جواب x2+y2 =2u2 )
مشکلات 6: معادله مکان نقطه میانی پاره خط خط مستقیم x Sinθ + y Cosθ = t بین محورها را بیابید. (جواب 1/x2+ 1 /y2 =4/t2 )
مشکلات 7: اگر نقطه P به گونه ای در صفحه XY حرکت کند که مساحت مثلث با نقطه با دو نقطه (2,-1) و (3,4) ساخته شده باشد. (پاسخ 5x-y=11)
مثال های اساسی در فرمول های "مرکز مثلث" در هندسه مختصات دو بعدی
نقطه مرکزی: سه وسط یک مثلث همیشه در نقطه‌ای که در ناحیه داخلی مثلث قرار دارد قطع می‌شود و میانه را به نسبت 2:1 از هر رأس به نقطه وسط ضلع مقابل تقسیم می‌کند. این نقطه مرکز مثلث نامیده می شود.
مسئله 1: مرکز مثلث را با رئوس (1,0-)، (0,4) و (5,0) بیابید.
راه حل: ما قبلاً می دانیم،
If تبر1,y1،) B(x2,y2) و C(x3,y3) رئوس مثلث باشد و G(x، y) مرکز باشد از مثلث، سپس مختصات از G هستند
و
با استفاده از این فرمول داریم،
(x1,y1) ≌(-1,0) یعنی x1= -1 y1=0.
(x2,y2) ≌(0,4،XNUMX) یعنی x2= 0 y2=4 و
(x3,y3) ≌(5,0) یعنی x3= 5 y3=0
بنابراین، مختصات x مرکز G، 
به عنوان مثال 
یعنی x=4/3
و
مختصات y مرکز G، 
به عنوان مثال 
یعنی y=4/3
بنابراین مختصات مرکز مثلث داده شده برابر است با 
. (پاسخ)
مسائل پاسخ داده شده بیشتر در زیر برای تمرین بیشتر با استفاده از روش توضیح داده شده در مسئله 1 در بالا آورده شده است:
مشکلات 2: مختصات مرکز مثلث با رئوس در نقاط (-3،-1)، (-1,3،1,1)) و (XNUMX،XNUMX) را بیابید.
پاسخ (-1,1)
مشکلات 3: مختصات x مرکز مثلث با رئوس (5,2،10,4)، (6،1) و (XNUMX،-XNUMX) چیست؟
پاسخ 7
مشکلات 4: سه رأس یک مثلث (5,9،2,15)، (11,12،XNUMX) و (XNUMX،XNUMX) هستند. مرکز این مثلث را پیدا کنید.
پاسخ (6,12)
تغییر مبدا / ترجمه محورها- هندسه مختصات دوبعدی
Shifting of Origin به این معنی است که مبدا را به یک نقطه جدید منتقل کنید و جهت محورها را بدون تغییر نگه دارید، یعنی محورهای جدید موازی با محورهای اصلی در همان صفحه باقی بمانند. با این ترجمه محورها یا فرآیند جابجایی مبدا، بسیاری از مسائل مربوط به معادله جبری یک شکل هندسی ساده شده و به راحتی حل می شود.
فرمول "تغییر مبدا" یا "ترجمه محورها" در زیر با نمایش گرافیکی توضیح داده شده است.
فرمول:
اگر O مبدأ باشد، P(x,y) هر نقطه ای در صفحه XY باشد و O به نقطه دیگری O'(a,b) منتقل شود که مختصات نقطه P در برابر آن (x) شود.1,y1) در همان صفحه با محورهای جدید X1Y1 ، سپس مختصات جدید P هستند
x1 = x- a
y1 = y- ب
نمایش گرافیکی برای شفاف سازی: نمودارها را دنبال کنید
تعداد کمی حل شد مشکلات مربوط به فرمول "تغییر مبدا":
مشکل-1: اگر دو نقطه (3,1،5,4) و (3,1،5,4) در یک صفحه وجود داشته باشد و مبدا به نقطه (XNUMX،XNUMX) منتقل شود و محورهای جدید با محورهای اصلی موازی باشند، مختصات آن را پیدا کنید. نقطه (XNUMX،XNUMX) در رابطه با مبدا و محورهای جدید.
راه حل: در مقایسه با فرمول 'Shifting of Origin' که در بالا توضیح داده شد، ما مبدأ جدیدی داریم، O'(a, b) ≌ (3,1) یعنی a=3 , b=1 و نقطه مورد نیاز P, (x,y) ≌ (5,4،5) یعنی x=4، y=XNUMX
حال اگر (x1,y1) مختصات جدید نقطه P(5,4) باشد، سپس فرمول asper x1 = xa و y1 =yb،
دریافت می کنیم، x1 = 5-3 و y1 = 4-1
یعنی x1 = 2 و y1 =3
بنابراین، مختصات جدید مورد نیاز نقطه (5,4،2,3) (XNUMX،XNUMX) است. (پاسخ)
مشکل-2: پس از انتقال مبدا به نقطه ای در همان صفحه، موازی ماندن محورها، مختصات یک نقطه (5،-4) تبدیل به (4،-5) می شود. مختصات مبدا جدید را پیدا کنید.
راه حل: در اینجا با استفاده از فرمول «تغییر مبدا» یا «ترجمه محورها» می‌توان گفت مختصات نقطه P نسبت به مبدا و محورهای قدیمی و جدید به ترتیب (x, y) ≌ (5,-4) است. x=5، y= -4 و (x1,y1) ≌ (4،-5) یعنی x1= 4، y1= -5
حالا باید مختصات Origin جدید را پیدا کنیم O'(a, b) به عنوان مثال a=؟، b=؟
فرمول آسپر،
x1 = x- a
y1 = y- b
به عنوان مثال a=xx1 و b= yy1
یا، a=5-4 و b= -4-(-5)
یا، a=1 و b= -4+5
یا، a=1 و b= 1
بنابراین، O'(1,1،1,1) مبدا جدید است، یعنی مختصات مبدا جدید (XNUMX،XNUMX) است. (پاسخ)
مثال های اساسی در مورد فرمول های "هم خطی نقاط (سه نقطه)" در هندسه مختصات دوبعدی
مشکلات 1: بررسی کنید که آیا نقاط (1,0،0,0)، (1,0،XNUMX) و (-XNUMX،XNUMX) خطی هستند یا خیر.
راه حل: ما قبلاً می دانیم،
If تبر1,y1،) B(x2,y2) و C(x3,y3) هر سه نقطه خطی باشد، پس مساحت مثلث ساخته شده توسط آنها باید صفر باشد یعنی مساحت مثلث است ½ [x1 (y2- y3) + x2 (y3- y1) + x3 (y1-y2)] =0
با استفاده از این فرمول داریم،
(x1,y1) ≌(-1,0) یعنی x1= -1 y1= 0 ;
(x2,y2) ≌(0,0) یعنی x2= 0، y2= 0؛
(x3,y3) ≌(1,0) یعنی x3= 1، y3= 0
بنابراین، مساحت مثلث = است |½[x1 (y2- y3) + x2 (y3- y1) + x3 (y1-y2)]| به عنوان مثال.
(LHS) = |½[-1 (0-0) + 0 (0-0) + 1 (0-0)]|
= |½[(- 1)x0 + 0x0 + 1×0]|
= |½[0 + 0 + 0]|
= |½ x 0|
= 0 (RHS)
بنابراین، مساحت مثلث ساخته شده توسط آن نقاط داده شده صفر می شود، به این معنی که آنها روی یک خط قرار دارند.
بنابراین، نقاط داده شده نقاط خطی هستند. (پاسخ)
مسائل پاسخ داده شده بیشتر در زیر برای تمرین بیشتر با استفاده از روشی که در بالا توضیح داده شده است آورده شده است مشکل 1:-
مشکلات 2: بررسی کنید که آیا نقاط (-1،-1)، (0,0،1,1) و (XNUMX،XNUMX) خطی هستند یا خیر.
پاسخ بله
مشکلات 3: آیا می توان از سه نقطه (3,2،5-)، (3،-2,2) و (XNUMX،XNUMX) یک خط کشید؟
پاسخنه
مشکلات 4: بررسی کنید که آیا نقاط (1,2،3,2)، (5,2،XNUMX) و (XNUMX،XNUMX-) که با خطوط به هم وصل شده اند، می توانند مثلثی را در صفحه مختصات تشکیل دهند یا خیر.
پاسخ نه
______________________________
مثال های اساسی در فرمول های "مرکز مثلث" در هندسه مختصات دو بعدی
در مرکز:این مرکز بزرگترین دایره مثلث است که در داخل مثلث قرار می گیرد. همچنین نقطه تلاقی سه نیمساز زوایای داخلی مثلث است.
مشکلات 1: رئوس یک مثلث با اضلاع به ترتیب (-2,0،0,5)، (6,0،XNUMX) و (XNUMX) است. مرکز مثلث را پیدا کنید.
راه حل: ما قبلاً می دانیم،
If تبر1,y1،) B(x2,y2) و C(x3,y3) رئوس، BC=a، CA=b و AB=c باشند، G′(x,y) مرکز مثلث باشد،
مختصات جی هستند
و
آسپر فرمولی که داریم،
(x1,y1) ≌(-4,0) یعنی x1= -4 y1=0.
(x2,y2) ≌(0,3،XNUMX) یعنی x2= 0 y2=3
(x3,y3) ≌(0,0) یعنی x3= 0 y3=0
الان داریم،
a= √ [(x2-x1)2+(y2-y1)2 ]
یا، a= √ [(0+4)2+(3-0)2 ]
یا، a= √ [(4)2+ (3)2 ]
یا، a= √ (16+9)
یا، a= √25
یا، a = 5 ———————(1)
b=√ [(x1-x3)2+(y1-y3)2 ]
یا، b= √ [(-4-0)2+(0-0)2 ]
یا، b= √ [(-4)2+ (0)2 ]
یا، b= √ (16+0)
یا، b= √16
یا، b= 4 ———————–(2)
c= √ [(x3-x2)2+(y3-y2)2 ]
یا، c= √ [(0-0)2+(0-3)2 ]
یا، c= √ [(0)2+(-3)2 ]
یا، c= √ (0+9)
یا، c= √9
یا، c= 3 ———————–(3)
و الفx1+ bx2 + cx3 = (5 X (-4)) + (4 X 0) + (3 X 6)
= -20+0+18
یا، ax1+ bx2 + cx3 = -2 ———————-(4)
ay1+ by2+ cy3 = (5 X 0) + (4 X 3) + (3 X 0)
= 0+12+0
یا، ay1+ توسط2+ cy3 = 12 ———————–(5)
a+b+c = 5+4+3
یا، a+b+c = 12 ———————(6)
با استفاده از معادلات بالا (1)، (2)، (3)، (4)، (5) و (6) می توانیم مقدار آن را محاسبه کنیم x و y از جانب
یا x = -2/12
یا x = -1/6
و
یا، y = 12/12
یا، y = 1
بنابراین مختصات مورد نیاز مرکز مثلث داده شده است (-1/6، 1). (پاسخ)
مسائل پاسخ داده شده بیشتر در زیر برای تمرین بیشتر با استفاده از روش توضیح داده شده در مسئله 1 در بالا آورده شده است:
مشکلات 2: مختصات مرکز مثلث با رئوس در نقاط (-3،-1)، (-1,3،1,1)) و (XNUMX،XNUMX) را بیابید.
مشکلات 3: مختصات x مرکز مثلث با راس (0,2،0,0)، (0،1) و (XNUMX،-XNUMX) چیست؟
مشکلات 4: سه رأس یک مثلث عبارتند از (1,1،2,2)، (3,3،XNUMX) و (XNUMX،XNUMX). مرکز این مثلث را پیدا کنید.
