محتوا
- متغیرهای تصادفی به طور مشترک توزیع شده است
- تابع توزیع مشترک | تابع توزیع احتمال تجمعی مشترک | تابع جرم احتمال مشترک | تابع چگالی احتمال مشترک
- نمونه هایی از توزیع مشترک
- متغیرهای تصادفی مستقل و توزیع مشترک
- نمونه ای از توزیع مشترک مستقل
- مجموع متغیرهای تصادفی مستقل بر اساس توزیع مشترک
- مجموع متغیرهای تصادفی مستقل نمایی
- مجموع متغیرهای تصادفی مستقل گاما
- مجموع متغیرهای تصادفی مستقل نمایی
- مجموع متغیر تصادفی نرمال مستقل | مجموع توزیع نرمال مستقل
- مجموع متغیرهای تصادفی مستقل پواسون
- مجموع متغیرهای تصادفی دو جمله ای مستقل
متغیرهای تصادفی به طور مشترک توزیع شده است
متغیرهای تصادفی توزیع شده مشترک، متغیر تصادفی بیش از یک با احتمال توزیع مشترک برای این متغیرهای تصادفی هستند، به عبارت دیگر در آزمایش‌هایی که نتایج متفاوت با احتمال مشترک آنها به عنوان متغیر تصادفی توزیع شده مشترک یا توزیع مشترک شناخته می‌شود، چنین شرایطی رخ می‌دهد. اغلب در هنگام رسیدگی به مشکلات شانس.
تابع توزیع مشترک | تابع توزیع احتمال تجمعی مشترک | تابع جرم احتمال مشترک | تابع چگالی احتمال مشترک
برای متغیرهای تصادفی X و Y تابع توزیع یا تابع توزیع تجمعی مشترک است
که در آن ماهیت احتمال مشترک به ماهیت متغیرهای تصادفی X و Y بستگی دارد، گسسته یا پیوسته، و توابع توزیع منفرد برای X و Y را می توان با استفاده از این تابع توزیع تجمعی مشترک به دست آورد.
به طور مشابه برای Y به عنوان
این توابع توزیع منفرد X و Y به عنوان توابع توزیع حاشیه ای زمانی که توزیع مشترک در حال بررسی است شناخته می شوند. این توزیع ها برای بدست آوردن احتمالات مانند بسیار مفید هستند
و علاوه بر این تابع جرم احتمال مشترک برای متغیرهای تصادفی X و Y به صورت تعریف شده است
توابع جرم یا چگالی احتمال فردی برای X و Y را می توان با کمک جرم احتمال مشترک یا تابع چگالی مانند بر حسب متغیرهای تصادفی گسسته as
و بر حسب متغیر تصادفی پیوسته تابع چگالی احتمال مشترک خواهد بود
که در آن C هر صفحه دو بعدی است و تابع توزیع مشترک برای متغیر تصادفی پیوسته خواهد بود
تابع چگالی احتمال از این تابع توزیع را می توان با تفکیک به دست آورد
و احتمال حاشیه ای از تابع چگالی احتمال مشترک
as
و
با توجه به متغیرهای تصادفی X و Y به ترتیب
نمونه هایی از توزیع مشترک
- احتمالات مشترک برای متغیرهای تصادفی X و Y نشان دهنده تعداد کتاب های ریاضی و آمار از مجموعه کتاب هایی است که شامل 3 کتاب ریاضی، 4 کتاب آمار و 5 کتاب فیزیک است اگر 3 کتاب به طور تصادفی گرفته شود.
- مفصل را پیدا کنید عملکرد توده احتمال برای خانواده هایی که 15% بدون فرزند، 20% 1 فرزند، 35% 2 فرزند و 30% 3 فرزند دارند، آیا خانواده ای که از این نمونه به طور تصادفی برای فرزند انتخاب می کنیم پسر باشد یا دختر؟
احتمال مشترک را با استفاده از تعریف as پیدا خواهیم کرد
و این را می توانیم به صورت جدولی به صورت زیر نشان دهیم
- احتمالات را محاسبه کنید
اگر برای متغیرهای تصادفی X و Y تابع چگالی احتمال مشترک به وسیله داده شود
با کمک تعریف احتمال مشترک برای متغیر تصادفی پیوسته
و تابع چگالی مفصل داده شده اولین احتمال برای محدوده داده شده خواهد بود
به همین ترتیب احتمال
و در نهایت
- تابع چگالی مشترک را برای ضریب X/Y متغیرهای تصادفی X و Y بیابید اگر تابع چگالی احتمال مشترک آنها باشد.
برای یافتن تابع چگالی احتمال برای تابع X/Y ابتدا تابع توزیع مشترک را پیدا می کنیم سپس نتیجه به دست آمده را متمایز می کنیم.
بنابراین با تعریف تابع توزیع مشترک و تابع چگالی احتمالی داریم
بنابراین با متمایز کردن این تابع توزیع نسبت به a تابع چگالی را به عنوان دریافت خواهیم کرد
جایی که a از صفر تا بی نهایت است.
متغیرهای تصادفی مستقل و توزیع مشترک
در توزیع مشترک احتمال دو متغیر تصادفی X و Y مستقل هستند اگر
که در آن A و B مجموعه های واقعی هستند. همانطور که قبلاً از نظر رویدادها می دانیم که متغیرهای تصادفی مستقل متغیرهای تصادفی هستند که رویدادهای آنها مستقل هستند.
بنابراین برای هر مقدار از a و b
و توزیع مشترک یا تابع توزیع تجمعی برای متغیرهای تصادفی مستقل X و Y خواهد بود
اگر متغیرهای تصادفی گسسته X و Y را در نظر بگیریم، آنگاه
پس از
به طور مشابه برای متغیر تصادفی پیوسته نیز
نمونه ای از توزیع مشترک مستقل
- اگر برای یک روز خاص در یک بیمارستان، بیماران وارد شده با پارامتر λ و احتمال بیمار مرد به صورت p و احتمال بیمار زن به صورت (1-p) توزیع سم باشد، تعداد بیماران مرد و بیماران زن وارد شده در بیمارستان را نشان دهید. آیا متغیرهای تصادفی پواسون مستقل با پارامترهای λp و λ(1-p) هستند؟
سپس تعداد بیماران زن و مرد را با متغیرهای تصادفی X و Y در نظر بگیرید
به عنوان X+Y تعداد کل بیماران وارد شده در بیمارستان است که سم توزیع شده است
از آنجایی که احتمال بیمار مرد p و بیمار زن (1-p) است، بنابراین دقیقاً از تعداد ثابت کل مرد یا زن، احتمال دو جمله ای را نشان می دهد.
با استفاده از این دو مقدار، احتمال مشترک بالا را به عنوان بدست می آوریم
بنابراین احتمال وجود بیماران زن و مرد خواهد بود
و
که نشان می دهد هر دوی آنها متغیرهای تصادفی پواسون با پارامترهای λp و λ(1-p) هستند.
2. این احتمال را بیابید که یک فرد باید بیش از ده دقیقه در جلسه برای مشتری منتظر بماند، گویی هر مشتری و آن شخص بین ساعت 12 تا 1 بعد از ظهر پس از توزیع یکنواخت می آیند.
متغیرهای تصادفی X و Y را برای نشان دادن زمان آن شخص و مشتری بین 12 تا 1 در نظر بگیرید، بنابراین احتمال مشترک برای X و Y خواهد بود.
محاسبه
که در آن X، Y و Z متغیرهای تصادفی یکنواخت در بازه (0,1،XNUMX) هستند.
در اینجا احتمال خواهد بود
برای توزیع یکنواخت تابع چگالی
برای محدوده داده شده بنابراین
مجموع متغیرهای تصادفی مستقل بر اساس توزیع مشترک
مجموع متغیرهای مستقل X و Y با توابع چگالی احتمال به عنوان متغیرهای تصادفی پیوسته، تابع توزیع تجمعی خواهد بود.
با افتراق این تابع توزیع تجمعی برای تابع چگالی احتمال این مجموع مستقل هستند
با پیروی از این دو نتیجه، تعدادی متغیر تصادفی پیوسته و مجموع آنها را به عنوان متغیرهای مستقل خواهیم دید
مجموع متغیرهای تصادفی یکنواخت مستقل
برای متغیرهای تصادفی X و Y به طور یکنواخت در بازه (0,1،XNUMX) توزیع شده اند، تابع چگالی احتمال برای هر دو این متغیر مستقل است.
بنابراین برای مجموع X+Y داریم
برای هر مقدار یک عدد بین صفر و یک قرار دارد
اگر یک را بین یک و دو محدود کنیم، خواهد بود
این تابع چگالی مثلثی را می دهد
اگر برای n متغیر تصادفی یکنواخت مستقل 1 را به n تعمیم دهیم، تابع توزیع آنها را تعمیم دهیم
توسط استقراء ریاضی خواهد بود
مجموع متغیرهای تصادفی مستقل گاما
اگر دو متغیر تصادفی گاما مستقل با تابع چگالی معمولشان داشته باشیم
سپس چگالی مجموع متغیرهای تصادفی گامای مستقل را دنبال کنید
این تابع چگالی را برای مجموع متغیرهای تصادفی گاما که مستقل هستند نشان می دهد
مجموع متغیرهای تصادفی مستقل نمایی
به روشی مشابه متغیر تصادفی گاما، مجموع متغیرهای تصادفی نمایی مستقل، می‌توانیم تابع چگالی و تابع توزیع را فقط با اختصاص مقادیر خاص متغیرهای تصادفی گاما بدست آوریم.
مجموع متغیر تصادفی نرمال مستقل | مجموع توزیع نرمال مستقل
اگر n عدد متغیر تصادفی عادی مستقل داشته باشیم، i=1,2,3,4،XNUMX،XNUMX،XNUMX….n با میانگین های مربوطه μi و واریانس σ2i سپس مجموع آنها همچنین متغیر تصادفی نرمال با میانگین Σμi و واریانس Σσ2i است
ابتدا مجموع مستقل توزیع شده نرمال را برای دو متغیر تصادفی معمولی X با پارامترهای 0 و σ نشان می دهیم.2 و Y با پارامترهای 0 و 1، اجازه دهید تابع چگالی احتمال را برای مجموع X+Y با
در تابع چگالی توزیع مشترک
با کمک تعریف تابع چگالی توزیع نرمال
بنابراین تابع چگالی خواهد بود
که چیزی جز تابع چگالی a نیست توزیع نرمال با میانگین 0 و واریانس (1+σ2) به دنبال همان آرگومان می توانیم بگوییم
با میانگین و واریانس های معمول اگر بسط را بگیریم و مشاهده کنیم مجموع به طور معمول با میانگین به عنوان مجموع میانگین های مربوطه و واریانس به عنوان مجموع واریانس های مربوطه توزیع می شود.
بنابراین، به همین ترتیب، nمین مجموع متغیر تصادفی توزیع شده نرمال با میانگین به عنوان Σμ خواهد بود.i و واریانس Σσ2i
مجموع متغیرهای تصادفی مستقل پواسون
اگر دو متغیر تصادفی مستقل پواسون X و Y با پارامتر λ داشته باشیم1 و λ2 سپس مجموع X+Y آنها نیز متغیر تصادفی پواسون یا پواسون توزیع شده است
از آنجایی که X و Y پواسون توزیع شده اند و می توانیم مجموع آنها را به عنوان اتحاد رویدادهای ناهمگون بنویسیم.
با استفاده از احتمال متغیرهای تصادفی مستقل
بنابراین حاصل جمع X+Y نیز پواسون با میانگین λ توزیع شده است1 + λ2
مجموع متغیرهای تصادفی دو جمله ای مستقل
اگر دو متغیر تصادفی دو جمله ای مستقل X و Y با پارامترهای (n,p) و (m, p) داشته باشیم، مجموع X+Y آنها نیز متغیر تصادفی دو جمله ای یا دوجمله ای توزیع شده با پارامتر (n+m, p) است.
اجازه دهید از احتمال مجموع با تعریف دوجمله ای به عنوان استفاده کنیم
که می دهد
بنابراین مجموع X+Y نیز به صورت دوجمله ای با پارامتر (n+m، p) توزیع می شود.
نتیجه:
مفهوم متغیرهای تصادفی توزیع شده مشترک که توزیع مقایسه ای را برای بیش از یک متغیر در موقعیت ارائه می دهد، همچنین مفهوم اساسی متغیر تصادفی مستقل با کمک توزیع مشترک و مجموع متغیرهای مستقل با نمونه ای از توزیع ارائه شده است. پارامترهای آنها، در صورت نیاز به مطالعه بیشتر، کتاب های ذکر شده را مرور کنید. برای پست بیشتر در مورد ریاضی لطفا اینجا کلیک کنید.
اولین دوره در احتمال توسط شلدون راس
طرح کلی احتمالات و آمار Schaum
مقدمه ای بر احتمال و آمار توسط روحتگی و صالح
