توزیع گاما معکوس و تابع مولد گشتاور توزیع گاما
در ادامه توزیع گاما با رعایت برخی از خصوصیات اساسی توزیع گاما، مفهوم توزیع گامای معکوس و تابع مولد گشتاور، اندازه گیری میانگین گرایش های مرکزی، حالت و میانه توزیع گاما را خواهیم دید.
خواص توزیع گاما
برخی از خواص مهم توزیع گاما به شرح زیر ثبت نام می شوند
تابع چگالی احتمال برای توزیع گاما است
or
که در آن تابع گاما است
2. تابع توزیع تجمعی برای توزیع گاما است
که در آن f(x) تابع چگالی احتمال همانطور که در بالا داده شد، در cdf خاص است
و
به ترتیب یا
E[X]=α*β
و
- تابع مولد گشتاور M(t) برای توزیع گاما است
or
- منحنی برای pdf و cdf است
- توزیع گامای معکوس را می توان با در نظر گرفتن متقابل تابع چگالی احتمال توزیع گاما به صورت تعریف کرد.
- مجموع توزیع گامای مستقل دوباره توزیع گاما با مجموع پارامترها است.
توزیع گامای معکوس | توزیع گامای معکوس نرمال
اگر در توزیع گاما در تابع چگالی احتمال
or
متغیر را متقابل یا معکوس می گیریم سپس تابع چگالی احتمال خواهد بود
بنابراین متغیر تصادفی با این تابع چگالی احتمال به عنوان متغیر تصادفی گامای معکوس یا توزیع گامای معکوس یا توزیع گامای معکوس شناخته می شود.
تابع چگالی احتمال بالا در هر پارامتری که می توانیم به صورت لامبدا یا تتا بگیریم، تابع چگالی احتمال که متقابل توزیع گاما است، تابع چگالی احتمال توزیع گامای معکوس است.
تابع توزیع تجمعی یا cdf توزیع گامای معکوس
تابع توزیع تجمعی برای توزیع گامای معکوس تابع توزیع است
که در آن f(x) تابع چگالی احتمال توزیع گامای معکوس است
میانگین و واریانس توزیع گامای معکوس
میانگین و واریانس توزیع گامای معکوس با پیروی از تعریف معمول انتظار و واریانس خواهد بود.
و
میانگین و واریانس اثبات توزیع گامای معکوس
برای بدست آوردن میانگین و واریانس توزیع گامای معکوس با استفاده از تابع چگالی احتمال
و برای تعریف انتظارات، ابتدا انتظار برای هر توان x را پیدا می کنیم
در انتگرال فوق از تابع چگالی به عنوان استفاده کردیم
اکنون برای مقدار α بزرگتر از یک و n به عنوان یک
به طور مشابه مقدار n=2 برای آلفا بزرگتر از 2 است
استفاده از این انتظارات به ما مقدار واریانس را می دهد
نمودار توزیع گاما اینورس | نمودار توزیع گامای معکوس
توزیع گامای معکوس، متقابل توزیع گاما است، بنابراین هنگام مشاهده توزیع گاما، خوب است که ماهیت منحنی‌های توزیع گامای معکوس را که تابع چگالی احتمالی دارند، مشاهده کنیم.
و تابع توزیع تجمعی با زیر
شرح: نمودارهای تابع چگالی احتمال و تابع توزیع تجمعی با ثابت کردن مقدار α به عنوان 1 و تغییر مقدار β.
توضیحات: نمودارهایی برای تابع چگالی احتمال و تابع توزیع تجمعی با تثبیت مقدار α به صورت 2 و تغییر مقدار β
توضیحات: نمودارهایی برای تابع چگالی احتمال و تابع توزیع تجمعی با تثبیت مقدار α به صورت 3 و تغییر مقدار β.
توضیحات: نمودارهایی برای تابع چگالی احتمال و تابع توزیع تجمعی با ثابت کردن مقدار β به عنوان 1 و تغییر مقدار α.
توضیحات: نمودارهایی برای تابع چگالی احتمال و تابع توزیع تجمعی با تثبیت مقدار β به صورت 2 و تغییر مقدار α
توضیحات: نمودارهایی برای تابع چگالی احتمال و تابع توزیع تجمعی با ثابت کردن مقدار β به عنوان 3 و تغییر مقدار α.
تابع تولید لحظه توزیع گاما
قبل از درک مفهوم تابع مولد گشتاور برای توزیع گاما، اجازه دهید مفهوم تابع مولد گشتاور را یادآوری کنیم.
لحظه
لحظه از متغیر تصادفی با کمک انتظار به عنوان تعریف می شود
این لحظه به عنوان r-امین متغیر تصادفی X شناخته می شود، این ممان مربوط به مبدا است و معمولاً به عنوان گشتاور خام شناخته می شود.
اگر لحظه r-امین متغیر تصادفی را در مورد میانگین μ به عنوان در نظر بگیریم
این لحظه در مورد میانگین به عنوان لحظه مرکزی شناخته می شود و انتظار مطابق با ماهیت متغیر تصادفی خواهد بود.
در لحظه مرکزی اگر مقادیر r را قرار دهیم، چند لحظه اولیه را به عنوان به دست می آوریم
اگر انبساط دوجمله‌ای را در ممان‌های مرکزی در نظر بگیریم، به راحتی می‌توانیم رابطه بین گشتاور مرکزی و خام را به صورت
برخی از روابط اولیه به شرح زیر است
تابع تولید لحظه
گشتاورهایی را که می توانیم با کمک تابعی تولید کنیم که تابع آن تابع مولد گشتاور است و به این صورت تعریف می شود
این تابع ممان ها را با کمک بسط تابع نمایی در هر یک از شکل ها تولید می کند
با استفاده از فرم تیلور به عنوان
متمایز کردن این تابع گسترش یافته با توجه به t گشتاورهای مختلف را به دست می دهد
اگر مشتق را مستقیماً به عنوان در نظر بگیریم
از آنجایی که برای هر دو گسسته است
و مستمر داریم
بنابراین برای t=0 دریافت خواهیم کرد
به همین ترتیب
as
و بطور کلی
دو رابطه مهم برای توابع مولد لحظه وجود دارد
تابع تولید لحظه توزیع گاما | mgf توزیع گاما | تابع تولید لحظه برای توزیع گاما
حالا برای گاما توزیع تابع مولد گشتاور M(t) برای pdf
is
و برای پی دی اف
تابع تولید لحظه است
اثبات عملکرد تولید کننده لحظه توزیع گاما | mgf اثبات توزیع گاما
اکنون ابتدا به شکل تابع چگالی احتمال به عنوان
و با استفاده از تعریف تابع مولد گشتاور M(t) داریم
می‌توان میانگین و واریانس توزیع گاما را با کمک تابع مولد گشتاور به‌عنوان متمایزکننده نسبت به t دو برابر این تابع، پیدا کرد.
اگر t=0 را قرار دهیم، اولین مقدار خواهد بود
و
اکنون ارزش این انتظارات را در نظر می گیریم
متناوب برای pdf فرم
تابع تولید لحظه خواهد بود
و با تفکیک و قرار دادن t=0 میانگین و واریانس به صورت زیر بدست می آید
لحظه دوم توزیع گاما
لحظه دوم توزیع گاما با دو بار افتراق تابع مولد گشتاور و قرار دادن مقدار t=0 در مشتق دوم آن تابع به دست خواهیم آورد.
لحظه سوم توزیع گاما
لحظه سوم توزیع گاما را می‌توان با سه بار متمایز کردن تابع مولد ممان و قرار دادن مقدار t=0 در مشتق سوم mgf پیدا کرد.
یا به طور مستقیم با ادغام به عنوان
سیگما برای توزیع گاما
سیگما یا انحراف معیار توزیع گاما را می‌توان با گرفتن جذر واریانس توزیع گامای نوع پیدا کرد.
or
برای هر مقدار تعریف شده آلفا، بتا و لامبدا.
تابع مشخصه توزیع گاما | تابع مشخصه توزیع گاما
اگر متغیر t در تابع مولد لحظه ای صرفاً یک عدد خیالی به صورت t=iω باشد، آن تابع به عنوان تابع مشخصه توزیع گاما شناخته می شود که به صورت مشخص و بیان می شود.
برای هر متغیر تصادفی تابع مشخصه خواهد بود
بنابراین برای توزیع گاما تابع مشخصه با پیروی از pdf توزیع گاما است
پیروی
شکل دیگری از این تابع ویژگی نیز وجود دارد if
سپس
مجموع توزیع گاما | مجموع گامای توزیع نمایی
برای دانستن نتیجه حاصل جمع توزیع گاما، ابتدا باید مجموع متغیر تصادفی مستقل را برای متغیر تصادفی پیوسته درک کنیم، برای این کار اجازه دهید توابع چگالی احتمال را برای متغیرهای تصادفی پیوسته X و Y و سپس تابع توزیع تجمعی برای مجموع داشته باشیم. از متغیرهای تصادفی خواهد بود
متمایز کردن این پیچیدگی انتگرال برای توابع چگالی احتمال X و Y، تابع چگالی احتمال را برای مجموع متغیرهای تصادفی به دست می‌دهد.
حال اجازه دهید ثابت کنیم که اگر X و Y متغیرهای تصادفی گاما با توابع چگالی مربوطه باشند، مجموع نیز توزیع گاما با مجموع پارامترهای مشابه خواهد بود.
با در نظر گرفتن تابع چگالی احتمال فرم
برای متغیر تصادفی X آلفا را به عنوان s و برای متغیر تصادفی Y آلفا را به عنوان t در نظر بگیرید بنابراین با استفاده از چگالی احتمال برای مجموع متغیرهای تصادفی داریم
در اینجا C مستقل از a است، اکنون مقدار آن خواهد بود
که نشان دهنده تابع چگالی احتمال مجموع X و Y است و از توزیع گاما است، بنابراین مجموع توزیع گاما نیز توزیع گاما را با مجموع پارامترهای مربوطه نشان می دهد.
حالت توزیع گاما
برای یافتن حالت توزیع گاما، تابع چگالی احتمال را به صورت در نظر می گیریم
اکنون این pdf را با توجه به x متمایز کنید، ما تمایز را به عنوان دریافت خواهیم کرد
این برای x=0 یا x=(α -1)/λ صفر خواهد بود
پس اینها فقط هستند نقاط بحرانی که در آن اولین مشتق ما صفر خواهد بود اگر آلفا بزرگتر یا مساوی صفر باشد، x=0 حالت نخواهد بود زیرا این باعث می شود pdf صفر شود، بنابراین حالت (α -1)/λ خواهد بود.
و برای آلفای کاملاً کمتر از یک مشتق از بینهایت به صفر کاهش می یابد همانطور که x از صفر به بی نهایت افزایش می یابد، بنابراین این امکان پذیر نیست، بنابراین حالت توزیع گاما
میانه توزیع گاما
میانه توزیع گاما را می توان با کمک توزیع گامای معکوس پیدا کرد
or
ارائه
که می دهد
شکل توزیع گاما
وقتی پارامتر شکل یک توزیع گاما برابر با توزیع نمایی است، بسته به پارامتر شکل، توزیع گاما شکل متفاوتی پیدا می‌کند، اما وقتی پارامتر شکل را تغییر می‌دهیم، چولگی منحنی توزیع گاما با افزایش پارامتر شکل کاهش می‌یابد. شکل منحنی توزیع گاما بر اساس انحراف معیار تغییر می کند.
چولگی توزیع گاما
چولگی هر توزیع را می توان با مشاهده تابع چگالی احتمال آن توزیع و ضریب چولگی مشاهده کرد.
برای توزیع گامایی که داریم
so
این نشان می‌دهد که چولگی به آلفا بستگی دارد فقط در صورتی که منحنی آلفا تا بینهایت افزایش یابد متقارن‌تر و تیزتر خواهد بود و وقتی آلفا به صفر می‌رسد منحنی چگالی توزیع گاما به‌طور مثبت منحنی می‌شود که در نمودارهای چگالی قابل مشاهده است.
توزیع گامای تعمیم یافته | پارامتر شکل و مقیاس در توزیع گاما | توزیع گامای سه پارامتری | توزیع گامای چند متغیره
در جایی که γ، μ و β به ترتیب پارامترهای شکل، مکان و مقیاس هستند، با اختصاص مقادیر خاص به این پارامترها می‌توانیم توزیع گامای دو پارامتر را به طور خاص بدست آوریم اگر μ=0، β=1 قرار دهیم سپس توزیع گامای استاندارد را به عنوان
با استفاده از این تابع چگالی احتمال توزیع گامای 3 پارامتری، می‌توانیم انتظار و واریانس را با پیروی از تعریف آنجا پیدا کنیم.
نتیجه:
مفهوم متقابل توزیع گاما است توزیع گامای معکوس در مقایسه با توزیع گاما و اندازه گیری گرایش های مرکزی توزیع گاما با کمک تابع مولد گشتاور تمرکز این مقاله بود، در صورت نیاز به مطالعه بیشتر، کتاب ها و لینک های پیشنهادی را مطالعه کنید. برای پست بیشتر در مورد ریاضیات، به ما مراجعه کنید صفحه ریاضی.
https://en.wikipedia.org/wiki/Gamma_distribution
اولین دوره در احتمال توسط شلدون راس
طرح کلی احتمالات و آمار Schaum
مقدمه ای بر احتمال و آمار توسط روحتگی و صالح
