چند جمله ای هرمیت: 9 واقعیت سریع کامل

  چند جمله ای هرمیت به طور گسترده در کاربردها به عنوان یک تابع متعامد رخ می دهد. چند جمله ای هرمیت حل سری معادله دیفرانسیل هرمیت است.

معادله هرمیت

    معادله دیفرانسیل مرتبه دوم با ضرایب خاص به عنوان

d²y/dx² - 2x dy/dx + 2xy = 0

به معادله هرمیت معروف است، با حل این معادله دیفرانسیل به چند جمله ای خواهیم رسید که چند جمله ای هرمیت.

اجازه دهید جواب معادله را پیدا کنیم

d²y/dx² - 2x dy/dx + 2ny = 0

با کمک حل سری معادله دیفرانسیل

اکنون با جایگزینی همه این مقادیر در معادله هرمیت داریم

این معادله برای مقدار k=0 راضی است و همانطور که فرض کردیم مقدار k منفی نخواهد بود، اکنون برای کمترین درجه ترم x^M-2 در رابطه اول k=0 را در نظر بگیرید زیرا دومی مقدار منفی می دهد، بنابراین ضریب x^M-2 is

a₀m (m-1)=0 ⇒ m=0,m=1

به عنوان یک₀ ≠

حالا به همین ترتیب ضریب x را برابر می کنیم^M-1 از جمع دوم

و معادل سازی ضرایب x^{m + k} به صفر،

a_{k + 2}(m+k+2)(m+k+1)-2a_k(m+kn) = 0

می توانیم آن را به صورت بنویسیم

a_{k + 2} = 2(m+kn)/(m+k+2)(m+k+1) a_k

اگر m=0

a_{k + 2} = 2(kn)/(k+2)(k+1) a_k

اگر m=1

a_{k + 2} = 2(k+1-n)/(k+3)(k+2) a_k

برای این دو مورد، اکنون موارد مربوط به k را مورد بحث قرار می دهیم

وقتی $m=0، a_{k + 2}= 2(kn)/ (k+2)(k+1)} a_k$

اگر، $k=0 a₂ =-2 n/2 a₀=-na₀$

$k=1، a₃=2(1-n)/6 a₁ =-2(n-1)/3! آ₁$

اگر $k=2، a₄ =2(2-n)/12 a₂ =2 (2-n)/12 (-na₀) = 2² n(n-2)/4! آ₀$

تا اینجا m=0 دو شرط داریم که a₁=0، سپس a₃=a₅=a₇=….=a_2r+1=0 و زمانی که a₁ پس صفر نیست

با دنبال کردن این مقادیر a را قرار دهید₀,a₁,a₂,a₃,a₄ و یک₅ ما

و برای m=1 a₁=0 با قرار دادن k=0,1,2,3,….. بدست می آوریم

a_{k + 2} = 2(k+1-n)/(k+3)(k+2)a_k

پس راه حل خواهد بود

بنابراین راه حل کامل است

که در آن A و B ثابت های دلخواه هستند

چند جمله ای هرمیت

   حل معادله هرمیت به شکل y(x)=Ay است₁(x) + توسط₂(x) جایی که y₁(x) و y₂(x) اصطلاحات سری هستند که در بالا مورد بحث قرار گرفت،

در صورتی که n عدد صحیح غیر منفی باشد اگر n زوج y باشد یکی از این سری ها پایان می یابد₁ در غیر این صورت y خاتمه می یابد₂ اگر n فرد باشد، و ما به راحتی می توانیم تأیید کنیم که برای n=0,1,2,3,4،XNUMX،XNUMX،XNUMX،XNUMX…….. این چند جمله ای ها هستند

1، x، 1-2x²، x-2/3 x³، 1-4 برابر²+4/3x⁴، x-4/3x³+ 4/15 برابر⁵

بنابراین در اینجا می توان گفت که حل معادله هرمیت مضرب ثابت این چندجمله ای ها هستند و عبارت های حاوی بالاترین توان x به شکل 2 هستند.ⁿxⁿ نشان داده شده با H_n(x) به عنوان شناخته می شود چند جمله ای هرمیت

تابع تولید چند جمله ای هرمیت

چند جمله ای هرمیت معمولاً با کمک رابطه با استفاده از تابع مولد تعریف می شود

[n/2] بزرگترین عدد صحیح کوچکتر یا مساوی n/2 است بنابراین از مقدار H_n(ایکس) as

این نشان می دهد که H_n(ایکس) چند جمله ای درجه n در x و است

H_n(x) = 2ⁿxⁿ + π_n-2 (ایکس)

جایی که π_n-2 (x) چند جمله ای درجه n-2 در x است و برای مقدار زوج n تابع زوج x و برای مقدار فرد n تابع فرد x خواهد بود، بنابراین

H_n(-x) = (-1)ⁿ H_n(ایکس)

برخی از چند جمله ای های آغازین هرمیت هستند

H₀(x) = 1

H₁(x) = 2x

H₂(x) = 4x² - 2

H₃(x) = 8x³-12

H₄(x) = 16x⁴ - 48 برابر²+ 12

H₅(x) = 32x² - 160 برابر³+ 120 برابر

تابع تولید چند جمله ای هرمیت با فرمول رودریگ

چند جمله ای هرمیت را نیز می توان با کمک فرمول رودریگ با استفاده از تابع مولد تعریف کرد

از رابطه تابع مولد

  با استفاده از قضیه ماکلورن، داریم

or

با قرار دادن z=xt و

برای t=0، بنابراین z=x می دهد

این را می توانیم به شکل دیگری نشان دهیم

تمایز دادن

با توجه به t می دهد

گرفتن حد t به صفر تمایل دارد

اکنون با توجه به x متمایز می شود

گرفتن حد t به صفر تمایل دارد

از این دو عبارت می توانیم بنویسیم

به همان شکلی که می توانیم بنویسیم

 با افتراق n مرتبه t=0، دریافت می کنیم

از این مقادیر می توانیم بنویسیم

از اینها می توانیم مقادیر را بدست آوریم

مثال در مورد هرمیت چند جمله ای           

1. چند جمله ای معمولی را پیدا کنید

راه حل: با استفاده از تعریف چند جمله ای هرمیت و روابطی که داریم

2. چند جمله ای هرمیت چند جمله ای معمولی را بیابید

راه حل: معادله داده شده را می توانیم به هرمیت تبدیل کنیم

و از این معادله معادل ضریب توان یکسان

از این رو چند جمله ای هرمیت خواهد بود

متعامد بودن چند جمله ای هرمیت | ویژگی متعامد چند جمله ای هرمیت

مشخصه مهم چند جمله ای هرمیت متعامد بودن آن است که بیان می کند

برای اثبات این متعامد، اجازه دهید آن را یادآوری کنیم

که تابع مولد چند جمله ای هرمیت است و می دانیم

پس با ضرب این دو معادله به دست خواهیم آورد

ضرب و ادغام در محدوده های بی نهایت

و از

so

با استفاده از این مقدار در عبارت بالا داریم

که می دهد

حالا ضرایب هر دو طرف را برابر کنید

که خاصیت متعامد چند جمله ای هرمیت را نشان می دهد.

  با در نظر گرفتن رابطه عود، نتیجه خاصیت متعامد چند جمله ای هرمیت را می توان به شکل دیگری نشان داد.

مثالی در مورد متعامد بودن چند جمله ای هرمیت

1. انتگرال را ارزیابی کنید

راه حل: با استفاده از خاصیت متعامد بودن چند جمله ای هرمیت

زیرا مقادیر در اینجا m=3 و n=2 بنابراین هستند

2. انتگرال را ارزیابی کنید

راه حل: با استفاده از خاصیت متعامد چند جمله ای هرمیت می توانیم بنویسیم

روابط عود چند جمله ای هرمیت

ارزش چند جمله ای هرمیت را می توان به راحتی با روابط عود پی برد

این روابط را می توان به راحتی با کمک تعریف و ویژگی ها به دست آورد.

شواهد: 1. ما معادله هرمیت را می دانیم

y”-2xy'+2ny = 0

و رابطه

با در نظر گرفتن تمایز نسبت به x به طور جزئی می توانیم آن را به صورت بنویسیم

از این دو معادله

حالا n را با n-1 جایگزین کنید

با معادل سازی ضریب tⁿ

بنابراین نتیجه مورد نیاز است

2. به روشی مشابه به طور جزئی با توجه به t معادله متمایز می شود

ما دریافت می کنید

n=0 محو می شود، بنابراین با قرار دادن این مقدار e

اکنون ضرایب t را برابر می کنیمⁿ

بنابر این

3. برای اثبات این نتیجه، H را حذف می کنیم_n-1 از جانب

و

بنابراین ما دریافت می کنیم

بنابراین می توانیم نتیجه را بنویسیم

4. برای اثبات این نتیجه تمایز قائل می شویم

ما رابطه را دریافت می کنیم

جایگزینی مقدار

و جایگزینی n با n+1

که می دهد

نمونه هایی از روابط عود چند جمله ای هرمیت

1. آن را نشان دهید

H_2n(0) = (-1)ⁿاست. 2²ⁿ (1 / 2)ⁿ

راه حل:

برای نشان دادن نتیجه ای که داریم

H2n(x) =

با گرفتن x=0 در اینجا به دست می آوریم

2. آن را نشان دهید

H'_{2n + 1}(0) = (-1)ⁿ 2^{2n + 1} (3 / 2)²

راه حل:

از آنجایی که از رابطه عود

H'_n(x) = 2nH_n-1(ایکس)

در اینجا n را با 2n+1 جایگزین کنید

H'_2n-1(x) = 2 (2n+1) H_2n(ایکس)

گرفتن x=0

3. مقدار را پیدا کنید

H_{2n + 1}(0)

راه حل

از آنجایی که می دانیم

در اینجا از x=0 استفاده کنید

H_2n-1(0) = 0

4. مقدار H' را بیابید_2n(0).

راه حل :

ما رابطه عود را داریم

H'_n(x) = 2nH_n-1(ایکس)

در اینجا n را با 2n جایگزین کنید

H'_2n(x) = =2 (2n)H_2n-1(ایکس)

x=0 را قرار دهید

H'_2n(0) = (4n)H_2n-1(0) = 4n*0=0

5. نتیجه زیر را نشان دهید

راه حل :

با استفاده از رابطه عود

H'_n(x) = 2nH_n-1 (ایکس)

so

و

d³/dx³ {H_n(x)} = 2³n(n-1)(n-2)H_n-3(ایکس)

افتراق این m بار

که می دهد

6. آن را نشان دهید

H_n(-x) = (-1)ⁿ H_n(ایکس)

راه حل :

ما میتوانیم بنویسیم

از ضریب tⁿ ما

و برای -x

7. انتگرال را ارزیابی کنید و نشان دهید

راه حل : برای حل این انتگرال از قطعات یکپارچه به عنوان استفاده کنید

در حال حاضر تمایز در زیر علامت انتگرال متمایز با

با احترام به x

با استفاده از

H'_n(x) = 2_nH_n-1 (ایکس)

و

H'_m(x) = 2mH_M-1 (ایکس)

ما

و از

𝝳 _{n، m-1} = 🝳_{n+1، m}

بنابراین مقدار انتگرال خواهد بود

نتیجه:

چند جمله‌ای خاصی که اغلب در کاربرد اتفاق می‌افتد، چند جمله‌ای هرمیت است، بنابراین تعریف اصلی، تابع تولید، روابط عود و مثال‌های مربوط به چند جمله‌ای هرمیت به طور خلاصه در اینجا مورد بحث قرار گرفت، اگر نیاز به مطالعه بیشتر داشتید، به ادامه مطلب بروید.

https://en.wikipedia.org/wiki/Hermite_polynomials

برای پست بیشتر در مورد ریاضیات، لطفا ما را دنبال کنید صفحه ریاضی