برخی از متغیرهای تصادفی گسسته اضافی و پارامترهای آن
متغیر تصادفی گسسته با تابع جرم احتمالی خود توزیع احتمال را ترکیب می کند و بسته به ماهیت متغیر تصادفی گسسته، توزیع احتمال ممکن است نام های مختلفی مانند توزیع دوجمله ای، توزیع پواسون و غیره داشته باشد، همانطور که قبلاً انواع گسسته ها را دیده ایم. متغیر تصادفی، متغیر تصادفی دو جمله ای و متغیر تصادفی پواسون با پارامترهای آماری برای این متغیرهای تصادفی. بسیاری از متغیرهای تصادفی بسته به ماهیت تابع جرم احتمال مشخص می شوند، اکنون انواع دیگری از متغیرهای تصادفی گسسته و پارامترهای آماری آن را خواهیم دید.
متغیر تصادفی هندسی و توزیع آن
یک متغیر تصادفی هندسی متغیر تصادفی است که برای آزمایش‌های مستقل انجام شده تا زمان وقوع موفقیت پس از شکست مداوم اختصاص داده می‌شود، یعنی اگر آزمایشی را n بار انجام دهیم و ابتدا همه شکست‌ها را n-1 بار دریافت کنیم و در آخر به موفقیت می‌رسیم. تابع جرم احتمال برای چنین متغیر تصادفی گسسته ای خواهد بود
در این متغیر تصادفی شرط لازم برای نتیجه کارآزمایی مستقل اولیه است که همه نتیجه باید قبل از موفقیت شکست باشد.
بنابراین به طور خلاصه متغیر تصادفی که تابع جرم احتمال بالا را دنبال می کند به عنوان متغیر تصادفی هندسی شناخته می شود.
به راحتی می توان مشاهده کرد که مجموع چنین احتمالاتی در مورد احتمال 1 خواهد بود.
بنابراین متغیر تصادفی هندسی با چنین تابع جرم احتمالی است توزیع هندسی.
بیشتر بدانید متغیر تصادفی پیوسته
انتظار متغیر تصادفی هندسی
از آنجایی که انتظار یکی از پارامترهای مهم برای متغیر تصادفی است، انتظار برای متغیر تصادفی هندسی نیز خواهد بود.
E[X]=1/p
که در آن p احتمال موفقیت است.
پس از
احتمال شکست q=1-p باشد
so
E[X]=qE[X]+1
(1-q)E[X]=1
pE[X]=1
بنابراین ما دریافت می کنیم
بنابراین مقدار مورد انتظار یا میانگین اطلاعات داده شده را می توانیم با مقدار معکوس احتمال موفقیت در متغیر تصادفی هندسی دنبال کنیم.
برای دریافت جزئیات در مورد متغیر تصادفی عادی
واریانس و انحراف معیار متغیر تصادفی هندسی
به همین ترتیب می توانیم دیگری را بدست آوریم واریانس پارامتر آماری مهم و انحراف معیار برای متغیر تصادفی هندسی و خواهد بود
و
برای بدست آوردن این مقادیر از رابطه استفاده می کنیم
پس اجازه دهید ابتدا محاسبه کنیم
سابق2]
مجموعه q=1-p
so
بنابراین ما داریم
متغیر تصادفی دو جمله ای منفی
این تصادفی به دلیل ماهیت تابع جرم احتمالی آن در متغیر تصادفی گسسته دیگری قرار می گیرد، در متغیر تصادفی دوجمله ای منفی و در توزیع آن از n کارآزمایی یک آزمایش مستقل، r باید در ابتدا موفقیت به دست آید.
به عبارت دیگر، یک متغیر تصادفی با تابع جرم بالاتر، یک متغیر تصادفی دوجمله‌ای منفی با پارامترهای (r,p) است، توجه داشته باشید که اگر r=1 را محدود کنیم، توزیع دوجمله‌ای منفی به توزیع هندسی تبدیل می‌شود، می‌توانیم به طور خاص بررسی کنیم.
انتظار، واریانس و انحراف معیار متغیر تصادفی دوجمله ای منفی
La انتظار و واریانس برای متغیر تصادفی دو جمله ای منفی خواهد بود
با کمک عملکرد توده احتمال از متغیر تصادفی دوجمله ای منفی و تعریف انتظار می توانیم بنویسیم
در اینجا Y چیزی نیست جز متغیر تصادفی دوجمله ای منفی که اکنون k=1 را به دست می آوریم
بنابراین برای واریانس
مثال: اگر یک قالب پرتاب شود تا 5 در صفحه قالب به دست بیاید تا زمانی که 4 برابر این مقدار به دست آوریم، انتظار و واریانس را پیدا می کنیم. سینوس متغیر تصادفی مرتبط با این آزمایش مستقل، متغیر تصادفی دو جمله ای منفی برای r=4 و احتمال موفقیت p= است. 1/6 برای گرفتن 5 در یک پرتاب
همانطور که برای متغیر تصادفی دوجمله ای منفی می دانیم
متغیر تصادفی فرا هندسی
اگر بخصوص نمونه ای به اندازه n از مجموع N با دو نوع m و Nm انتخاب کنیم، متغیر تصادفی برای اولین بار انتخاب شده است که تابع جرم احتمالی را دارد.
برای مثال فرض کنید یک گونی داریم که از آن نمونه‌ای به اندازه n کتاب به طور تصادفی و بدون جایگزینی گرفته شده است که حاوی N کتاب است که m ریاضی و Nm فیزیک است. تابع برای چنین انتخابی مطابق تابع جرم احتمال بالا خواهد بود.
به عبارت دیگر متغیر تصادفی با تابع جرم احتمال بالا به عنوان متغیر تصادفی فراهندسی شناخته می شود.
بیشتر بخوانید متغیرهای تصادفی توزیع شده مشترک
مثال: اگر 30% لات ها دارای چهار جزء معیوب و 70% دارای یک قطعه معیوب باشند، به شرطی که اندازه لات 10 باشد و برای پذیرش لات، سه جزء تصادفی انتخاب و بررسی می شود که آیا همه آنها معیوب نیستند یا خیر. مقدار زیادی انتخاب خواهد شد از کل لات حساب کنید چند درصد از لات رد می شود.
در اینجا A را رویدادی برای پذیرش قرعه در نظر بگیرید
N=10، m=4، n=3
برای N=10، m=1، n=3
بنابراین لات 46 درصد رد خواهد شد.
انتظار، واریانس و انحراف معیار متغیر تصادفی فرا هندسی
انتظار، واریانس و انحراف معیار برای متغیر تصادفی فراهندسی با پارامترهای n،m، و N خواهد بود.
یا برای مقدار زیاد N
و انحراف معیار جذر واریانس است.
با در نظر گرفتن تعریف تابع جرم احتمال تابع ابر هندسی و انتظار می توان آن را به صورت زیر نوشت:
در اینجا با استفاده از روابط و هویت های ترکیب ما
در اینجا Y نقش متغیر تصادفی فراهندسی را با پارامترهای مربوطه بازی می کند، حالا اگر k=1 قرار دهیم به دست می آید.
E[X] = nm/N
و برای k=2
بنابراین واریانس خواهد بود
برای p=m/N و
ما دریافت می کنید
برای مقدار بسیار بزرگ N بدیهی است
متغیر تصادفی زتا (Zipf).
A متغیر تصادفی گسسته اگر تابع جرم احتمالی آن با داده شود زتا گفته می شود
برای مقادیر مثبت آلفا
به همین ترتیب می توانیم مقادیر انتظار، واریانس و انحراف معیار را پیدا کنیم.
به همین ترتیب، تنها با استفاده از تعریف تابع جرم احتمال و انتظارات ریاضی، می‌توان تعداد ویژگی‌ها را برای هر یک از متغیرهای تصادفی گسسته خلاصه کرد، برای مثال مقادیر مورد انتظار مجموع متغیرهای تصادفی را به صورت خلاصه
برای متغیرهای تصادفی
X دلار1,X2، ایکس3…$
نتیجه:
در این مقاله عمدتاً بر روی برخی متغیرهای تصادفی گسسته اضافی، توابع جرم احتمالی آن، توزیع و پارامترهای آماری میانگین یا انتظار، انحراف معیار و واریانس، مقدمه کوتاه و ساده تمرکز کردیم. مثالی که برای ارائه جزییات فقط به ایده بحث کردیم در مقالات بعدی به بررسی متغیرهای تصادفی پیوسته و مفاهیم مرتبط با متغیر تصادفی پیوسته خواهیم پرداخت، اگر مایل به مطالعه بیشتر هستید، لینک پیشنهادی زیر را دنبال کنید. برای موضوعات بیشتر در مورد ریاضیات، لطفاً این را بخوانید پیوند.
طرح کلی احتمالات و آمار Schaum
