توزیع گاما: 7 ویژگی مهم که باید بدانید

توزیع گاما

یکی از متغیرهای تصادفی پیوسته و توزیع پیوسته، توزیع گاما است، همانطور که می دانیم متغیر تصادفی پیوسته با مقادیر یا فواصل پیوسته سروکار دارد، توزیع گاما با تابع چگالی احتمال خاص و تابع جرم احتمال نیز در بحث متوالی مورد بحث قرار می گیرد. مفهوم، ویژگی‌ها و نتایج را با مثال‌هایی از متغیر تصادفی گاما و توزیع گاما شرح دهید.

متغیر تصادفی گاما یا توزیع گاما | توزیع گاما چیست | تعریف توزیع گاما | تابع چگالی توزیع گاما | تابع چگالی احتمال توزیع گاما | اثبات توزیع گاما

یک متغیر تصادفی پیوسته با تابع چگالی احتمال

به عنوان متغیر تصادفی گاما یا توزیع گاما شناخته شده است که در آن α>0، λ>0 و تابع گاما

ما خاصیت بسیار مکرر تابع گاما را با ادغام توسط قطعات به عنوان داریم

اگر روند را از n شروع کنیم، سپس

و در نهایت مقدار گامای یک خواهد بود

بنابراین ارزش خواهد بود

سی دی اف توزیع گاما | توزیع تجمعی گاما | ادغام توزیع گاما

La توزیع تجمعی تابع (cdf) متغیر تصادفی گاما یا تابع توزیع متغیر تصادفی گاما با متغیر تصادفی پیوسته یکسان است به شرطی که تابع چگالی احتمال متفاوت باشد.

در اینجا تابع چگالی احتمال همانطور که در بالا برای توزیع گاما تعریف شده است، تابع توزیع تجمعی نیز می‌توانیم بنویسیم

در هر دو فرمت بالا مقدار pdf به صورت زیر است

که در آن α>0، λ>0 اعداد واقعی هستند.

فرمول توزیع گاما | فرمول توزیع گاما | معادله توزیع گاما | مشتق توزیع گاما

برای یافتن احتمال برای متغیر تصادفی گاما، تابع چگالی احتمال باید برای α > 0 داده شده مختلف استفاده کنیم، λ > 0 برابر است با

و با استفاده از pdf بالا، توزیع متغیر تصادفی گاما را می‌توانیم به دست آوریم

بنابراین فرمول توزیع گاما به مقدار pdf و محدودیت‌های متغیر تصادفی گاما مطابق با نیاز نیاز دارد.

نمونه توزیع گاما

نشان می دهد که احتمال کل برای توزیع گاما یکی با تابع چگالی احتمال داده شده است

برای λ > 0، α> 0.
راه حل:
با استفاده از فرمول توزیع گاما

از آنجایی که تابع چگالی احتمال برای توزیع گاما است

که برای همه مقادیر کمتر از صفر صفر است بنابراین احتمال اکنون خواهد بود

با استفاده از تعریف تابع گاما

و جایگزینی دریافت می کنیم

بنابر این

میانگین و واریانس توزیع گاما | انتظار و واریانس توزیع گاما | مقدار مورد انتظار و واریانس توزیع گاما | میانگین توزیع گاما | مقدار مورد انتظار توزیع گاما | انتظار توزیع گاما

در بحث زیر میانگین و واریانس توزیع گاما را با کمک تعاریف استاندارد انتظار و واریانس متغیرهای تصادفی پیوسته پیدا خواهیم کرد.

مقدار مورد انتظار یا میانگین متغیر تصادفی پیوسته X با تابع چگالی احتمال

یا متغیر تصادفی گاما X خواهد بود

میانگین اثبات توزیع گاما | مقدار مورد انتظار اثبات توزیع گاما

برای به دست آوردن مقدار مورد انتظار یا میانگین توزیع گاما، از تعریف و ویژگی تابع گاما پیروی می کنیم.
ابتدا با تعریف انتظار متغیر تصادفی پیوسته و تابع چگالی احتمال متغیر تصادفی گاما داریم

با لغو عامل مشترک و استفاده از تعریف تابع گاما

حالا چون خاصیت تابع گاما را داریم

ارزش انتظار خواهد بود

بنابراین میانگین یا مقدار مورد انتظار متغیر تصادفی گاما یا توزیع گامایی که به دست می آوریم است

واریانس توزیع گاما | واریانس توزیع گاما

واریانس برای متغیر تصادفی گاما با تابع چگالی احتمال داده شده

یا واریانس توزیع گاما خواهد بود

واریانس اثبات توزیع گاما

همانطور که می دانیم واریانس تفاوت مقادیر مورد انتظار است

برای توزیع گاما از قبل مقدار میانگین را داریم

اکنون اجازه دهید ابتدا مقدار E[X را محاسبه کنیم²]، بنابراین با تعریف انتظار برای متغیر تصادفی پیوسته داریم
از آنجایی که تابع f(x) تابع توزیع احتمال توزیع گاما است

بنابراین انتگرال فقط از صفر تا بی نهایت خواهد بود

بنابراین با تعریف تابع گاما می توانیم بنویسیم

بنابراین با استفاده از خاصیت تابع گاما مقدار as را بدست آوردیم

اکنون ارزش این انتظارات را در نظر می گیریم

بنابراین، مقدار واریانس توزیع گاما یا متغیر تصادفی گاما است

پارامترهای توزیع گاما | توزیع گامای دو پارامتری | 2 توزیع گامای متغیر

توزیع گاما با پارامترهای λ> 0، α> 0 و تابع چگالی احتمال

دارای پارامترهای آماری میانگین و واریانس به عنوان

و

از آنجایی که λ عدد واقعی مثبت است، برای ساده کردن و مدیریت آسان راه دیگر تنظیم λ=1/β است، بنابراین تابع چگالی احتمال را به شکل می دهد.

به طور خلاصه تابع توزیع یا تابع توزیع تجمعی برای این چگالی را می توانیم به صورت بیان کنیم

این تابع چگالی گاما میانگین و واریانس را به عنوان نشان می دهد

و

که با تعویض مشخص می شود.
هر دو روش معمولاً از توزیع گاما با پارامتر α و λ استفاده می شوند گاما (α، λ) یا توزیع گاما با پارامترهای β و λ نشان داده شده با گاما (β، λ) با پارامترهای آماری مربوطه میانگین و واریانس در هر یک از فرم ها.
هر دو چیزی جز یکی نیستند.

طرح توزیع گاما | نمودار توزیع گاما| هیستوگرام توزیع گاما

ماهیت توزیع گاما را می توانیم به راحتی با کمک نمودار برای برخی از مقادیر خاص پارامترها تجسم کنیم، در اینجا نمودارهایی را برای تابع چگالی احتمال و تابع چگالی تجمعی برای برخی از مقادیر پارامترها ترسیم می کنیم.
اجازه دهید تابع چگالی احتمال را به عنوان در نظر بگیریم

سپس تابع توزیع تجمعی خواهد بود

توضیحات: نمودارهایی برای تابع چگالی احتمال و تابع توزیع تجمعی با ثابت کردن مقدار آلفا به عنوان 1 و تغییر مقدار بتا.

توضیحات: نمودارهایی برای تابع چگالی احتمال و تابع توزیع تجمعی با ثابت کردن مقدار آلفا به عنوان 2 و تغییر مقدار بتا

توضیحات: نمودارهایی برای تابع چگالی احتمال و تابع توزیع تجمعی با ثابت کردن مقدار آلفا به عنوان 3 و تغییر مقدار بتا

شرح: نمودارهای تابع چگالی احتمال و تابع توزیع تجمعی با ثابت کردن مقدار بتا به عنوان 1 و تغییر مقدار آلفا

توضیحات: نمودارهایی برای تابع چگالی احتمال و تابع توزیع تجمعی با ثابت کردن مقدار بتا به عنوان 2 و تغییر مقدار آلفا

توضیحات: نمودارهایی برای تابع چگالی احتمال و تابع توزیع تجمعی با ثابت کردن مقدار بتا به عنوان 3 و تغییر مقدار آلفا.

به طور کلی منحنی های مختلف مانند آلفا متغیر است

جدول توزیع گاما | جدول توزیع استاندارد گاما

مقدار عددی تابع گاما

به عنوان مقادیر عددی تابع گامای ناقص به شرح زیر شناخته می شود

مقدار عددی توزیع گاما برای ترسیم نمودار برای تابع چگالی احتمال و تابع توزیع تجمعی برای برخی از مقادیر اولیه به شرح زیر است.

1x	f(x)، α=1، β=1	f(x)، α=2، β=2	f(x)، α=3، β=3	P(x)، α=1، β=1	P(x)، α=2، β=2	P(x)، α=3، β=3
0	1	0	0	0	0	0
0.1	0.904837418	0.02378073561	1.791140927E-4	0.09516258196	0.001209104274	6.020557215E-6
0.2	0.8187307531	0.0452418709	6.929681371E-4	0.1812692469	0.00467884016	4.697822176E-5
0.3	0.7408182207	0.06455309823	0.001508062363	0.2591817793	0.01018582711	1.546530703E-4
0.4	0.670320046	0.08187307531	0.00259310613	0.329679954	0.01752309631	3.575866931E-4
0.5	0.6065306597	0.09735009788	0.003918896875	0.3934693403	0.02649902116	6.812970042E-4
0.6	0.5488116361	0.1111227331	0.005458205021	0.4511883639	0.03693631311	0.001148481245
0.7	0.4965853038	0.1233204157	0.007185664583	0.5034146962	0.04867107888	0.001779207768
0.8	0.4493289641	0.1340640092	0.009077669195	0.5506710359	0.06155193555	0.002591097152
0.9	0.4065696597	0.1434663341	0.01111227331	0.5934303403	0.07543918015	0.003599493183
1	0.3678794412	0.1516326649	0.01326909834	0.6321205588	0.09020401043	0.004817624203
1.1	0.3328710837	0.1586611979	0.01552924352	0.6671289163	0.1057277939	0.006256755309
1.2	0.3011942119	0.1646434908	0.01787520123	0.6988057881	0.1219013822	0.007926331867
1.3	0.272531793	0.1696648775	0.0202907766	0.727468207	0.1386244683	0.00983411477
1.4	0.2465969639	0.1738048563	0.02276101124	0.7534030361	0.1558049836	0.01198630787
1.5	0.2231301601	0.1771374573	0.02527211082	0.7768698399	0.1733585327	0.01438767797
1.6	0.201896518	0.1797315857	0.02781137633	0.798103482	0.1912078646	0.01704166775
1.7	0.1826835241	0.1816513461	0.03036713894	0.8173164759	0.2092823759	0.01995050206
1.8	0.1652988882	0.1829563469	0.03292869817	0.8347011118	0.2275176465	0.02311528775
1.9	0.1495686192	0.1837019861	0.03548626327	0.8504313808	0.2458550043	0.02653610761
2	0.1353352832	0.1839397206	0.03803089771	0.8646647168	0.2642411177	0.03021210849
2.1	0.1224564283	0.1837173183	0.04055446648	0.8775435717	0.2826276143	0.03414158413
2.2	0.1108031584	0.183079096	0.04304958625	0.8891968416	0.3009707242	0.03832205271
2.3	0.1002588437	0.1820661424	0.04550957811	0.8997411563	0.3192309458	0.04275032971
2.4	0.09071795329	0.1807165272	0.04792842284	0.9092820467	0.3373727338	0.04742259607
2.5	0.08208499862	0.179065498	0.05030071858	0.9179150014	0.3553642071	0.052334462
2.6	0.07427357821	0.1771456655	0.05262164073	0.9257264218	0.373176876	0.05748102674
2.7	0.06720551274	0.1749871759	0.05488690407	0.9327944873	0.3907853875	0.0628569343
2.8	0.06081006263	0.1726178748	0.05709272688	0.9391899374	0.4081672865	0.06845642568
2.9	0.05502322006	0.1700634589	0.05923579709	0.9449767799	0.4253027942	0.07427338744
3	0.04978706837	0.1673476201	0.0613132402	0.9502129316	0.4421745996	0.08030139707

یافتن آلفا و بتا برای توزیع گاما | نحوه محاسبه آلفا و بتا برای توزیع گاما | تخمین پارامتر توزیع گاما

برای یافتن توزیع گاما آلفا و بتا، میانگین و واریانس توزیع گاما را می گیریم

و

اکنون ما مقدار بتا را به عنوان دریافت خواهیم کرد

so

و

بنابر این

فقط با گرفتن کسری از توزیع گاما مقدار آلفا و بتا را بدست می آوریم.

مسائل و راه حل های توزیع گاما | نمونه مشکلات توزیع گاما | آموزش توزیع گاما | سوال توزیع گاما

1. زمان مورد نیاز برای حل مشکل برای مشتری را در نظر بگیرید گاما بر حسب ساعت با میانگین 1.5 و واریانس 0.75 توزیع شده است. احتمال وجود مشکل زمان حل بیش از 2 ساعت است، اگر زمان بیش از 2 ساعت باشد، احتمال اینکه مشکل در حداقل 5 ساعت حل شود چقدر خواهد بود.

راه حل: از آنجایی که متغیر تصادفی گاما با میانگین 1.5 و واریانس 0.75 توزیع شده است، بنابراین می توانیم مقادیر آلفا و بتا را پیدا کنیم و با کمک این مقادیر احتمال آن خواهد بود.

P(X>2)=13e^-4= 0.2381

و

P(X>5 | X>2)=(61/13)e^-6= 0.011631

2. اگر بازخورد منفی در هفته از کاربران در توزیع گاما با پارامترهای آلفا 2 و بتا به عنوان 4 مدل شود، پس از 12 هفته بازخورد منفی پس از تجدید ساختار کیفیت، آیا از این اطلاعات می توان بازسازی عملکرد را بهبود بخشد؟

راه حل: همانطور که در توزیع گاما با α=2، β=4 مدل شده است

میانگین و انحراف معیار را به صورت μ =E(x)=α * β=4 * 2=8 پیدا خواهیم کرد.

از آنجایی که مقدار X=12 در انحراف استاندارد از میانگین قرار دارد، بنابراین نمی‌توانیم بگوییم که این بهبود است یا نه با تغییر ساختار کیفیت، برای اثبات اینکه بهبود ناشی از اطلاعات تجدید ساختار داده شده کافی نیست.

3. اجازه دهید X باشد توزیع گاما با پارامترهای α=1/2، λ=1/2، تابع چگالی احتمال را برای تابع Y=ریشه مربع X بیابید.

راه حل: اجازه دهید تابع توزیع تجمعی Y را به صورت محاسبه کنیم

اکنون با تفکیک این با توجه به y، تابع چگالی احتمال برای Y به عنوان به دست می آید

و محدوده y از 0 تا بی نهایت خواهد بود

نتیجه:

مفهوم توزیع گاما در احتمال و آمار یکی از مهم‌ترین توزیع‌های کاربردی روزانه خانواده نمایی است که تمامی مفاهیم پایه تا سطح بالاتر تا کنون در رابطه با توزیع گامادر صورت نیاز به مطالعه بیشتر، لطفاً کتاب های ذکر شده را مرور کنید. شما همچنین می توانید بازدید کنید ریاضیات صفحه برای موضوع بیشتر

https://en.wikipedia.org/wiki/Gamma_distribution
اولین دوره در احتمال توسط شلدون راس
طرح کلی احتمالات و آمار Schaum
مقدمه ای بر احتمال و آمار توسط روحتگی و صالح