محتوا
- شکل ویژه توزیع گاما و روابط توزیع گاما
- خانواده نمایی توزیع گاما
- رابطه بین توزیع گاما و نرمال
- توزیع گاما پواسون | توزیع گاما پواسون دو جمله ای منفی
- توزیع گامای ویبول
- کاربرد توزیع گاما در زندگی واقعی | کاربردهای توزیع گاما | کاربرد توزیع گاما در آمار
- توزیع بتا گاما | رابطه بین توزیع گاما و بتا
- توزیع گامای دو متغیره
- توزیع گامای دوگانه
- رابطه بین توزیع گاما و نمایی | توزیع نمایی و گاما | توزیع نمایی گاما
- توزیع گامای مناسب
- توزیع گامای تغییر یافته
- توزیع گامای کوتاه شده
- تابع بقای توزیع گاما
- MLE توزیع گاما | حداکثر احتمال توزیع گاما | تابع احتمال توزیع گاما
- روش تخمین پارامتر توزیع گاما ممان | روش توزیع گاما برآوردگر گشتاور
- فاصله اطمینان برای توزیع گاما
- مزدوج توزیع گاما قبل برای توزیع نمایی | توزیع قبلی گاما | توزیع خلفی پواسون گاما
- تابع کمیت توزیع گاما
- توزیع گامای تعمیم یافته
- توزیع گامای تعمیم یافته بتا
شکل ویژه توزیع گاما و روابط توزیع گاما
در این مقاله به اشکال خاص توزیع گاما و روابط توزیع گاما با متغیرهای تصادفی مختلف پیوسته و گسسته می پردازیم و همچنین برخی از روش های تخمین در نمونه گیری از جامعه با استفاده از توزیع گاما را به اختصار مورد بررسی قرار می دهیم.
خانواده نمایی توزیع گاما
خانواده نمایی توزیع گاما و خانواده نمایی دو پارامتری است که تا حد زیادی خانواده توزیع قابل استفاده است، زیرا اکثر مسائل واقعی را می توان در خانواده نمایی توزیع گاما مدل کرد و محاسبه سریع و مفید در خانواده نمایی را می توان به راحتی انجام داد. در پارامتر دو اگر تابع چگالی احتمال را به عنوان در نظر بگیریم
اگر مقدار شناخته شده α (آلفا) را محدود کنیم، این خانواده دو پارامتری به یک خانواده نمایی کاهش می یابد
و برای λ (لامبدا)
رابطه بین توزیع گاما و نرمال
در تابع چگالی احتمال توزیع گاما اگر آلفا را به 50 نزدیک کنیم، ماهیت تابع چگالی را به صورت
حتی پارامتر شکل را در توزیع گاما افزایش می‌دهیم که منجر به تشابه منحنی نرمال توزیع نرمال می‌شود، اگر پارامتر شکل آلفا به سمت بینهایت تمایل داشته باشیم، توزیع گاما متقارن‌تر و نرمال‌تر خواهد بود، اما با تمایل آلفا به مقدار بینهایت x در گاما. توزیع به منهای بینهایت میل می کند که منجر به پشتیبانی نیمه نامتناهی از توزیع گاما بی نهایت می شود، بنابراین حتی توزیع گاما متقارن می شود اما با توزیع نرمال یکسان نیست.
توزیع گاما پواسون | توزیع گاما پواسون دو جمله ای منفی
توزیع گامای پواسون و توزیع دوجمله ای متغیر تصادفی گسسته ای هستند که متغیر تصادفی آن با مقادیر گسسته به ویژه موفقیت و شکست در قالب آزمایشات برنولی سروکار دارد که تنها در نتیجه موفقیت یا شکست تصادفی را ارائه می دهد، اکنون مخلوط توزیع پواسون و گاما نیز وجود دارد. که به عنوان توزیع دوجمله ای منفی شناخته می شود، نتیجه آزمایش مکرر آزمایش برنولی است، این می تواند به روش های مختلف پارامتری شود، به طوری که اگر موفقیت r-امین در تعداد آزمایش رخ دهد، سپس می توان آن را به صورت پارامتری کرد.
و اگر تعداد خرابی ها قبل از موفقیت r-ام باشد، می توان آن را به عنوان پارامتر کرد
و با در نظر گرفتن مقادیر r و p
شکل کلی پارامترسازی برای توزیع گامای دوجمله ای منفی یا پواسون است
و جایگزین آن است
این توزیع دو جمله ای به دلیل ضریب منفی شناخته می شود
و این توزیع دوجمله ای منفی یا گامای پواسون به خوبی به عنوان احتمال کل که برای این توزیع به عنوان یک به دست می آوریم، مشخص است.
میانگین و واریانس برای این توزیع گامای دو جمله ای منفی یا پواسون است
رابطه پواسون و گاما را می توانیم با محاسبه زیر بدست آوریم
بنابراین دوجمله ای منفی مخلوطی از توزیع سم و گاما است و این توزیع در مدل سازی مسائل روزمره در جایی که به مخلوط گسسته و پیوسته نیاز داریم استفاده می شود.
توزیع گامای ویبول
تعمیم توزیع نمایی وجود دارد که شامل توزیع وایبول و همچنین توزیع گاما می شود زیرا توزیع ویبول تابع چگالی احتمال را دارد.
و تابع توزیع تجمعی به عنوان
در جایی که pdf و cdf توزیع گاما قبلاً در بالا مورد بحث قرار گرفته است، ارتباط اصلی بین توزیع گاما و ویبول این است که هر دو تعمیم توزیع نمایی هستند، تفاوت بین آنها در زمانی است که توان متغیر بزرگتر از یک باشد، توزیع Weibull نتیجه سریع می دهد در حالی که برای کمتر. بیش از 1 گاما نتیجه سریع می دهد.
ما در اینجا در مورد توزیع گامای وایبول تعمیم یافته که نیاز به بحث جداگانه دارد بحث نمی کنیم.
کاربرد توزیع گاما در زندگی واقعی | کاربردهای توزیع گاما | کاربرد توزیع گاما در آمار
کاربردهای مختلفی وجود دارد که در آنها از توزیع گاما برای مدل سازی وضعیت استفاده می شود مانند ادعای بیمه برای جمع آوری، انباشت مقدار بارندگی، برای هر محصول تولید و توزیع آن، جمعیت در وب خاص، و در مبادلات مخابراتی و غیره در واقع توزیع گاما می دهد. زمان انتظار پیش گویی تا رویداد بعدی برای رویداد نهم. تعدادی کاربرد از توزیع گاما در زندگی واقعی وجود دارد.
توزیع بتا گاما | رابطه بین توزیع گاما و بتا
توزیع بتا متغیر تصادفی با تابع چگالی احتمال است
جایی که
که با تابع گاما رابطه دارد
و توزیع بتا مربوط به توزیع گاما به گونه ای است که اگر X توزیع گاما با پارامتر آلفا و بتا به عنوان یک باشد و Y توزیع گاما با پارامتر آلفا به عنوان یک و بتا باشد سپس متغیر تصادفی X/(X+Y) توزیع بتا است.
یا اگر X گاما (α،1) و Y گاما (1، β) باشد، متغیر تصادفی X/(X+Y) بتا است (α، β)
و همچنین
توزیع گامای دو متغیره
یک متغیر تصادفی دو بعدی یا دو متغیره پیوسته است اگر تابع f(x,y) وجود داشته باشد که تابع توزیع مشترک باشد.
جایی که
و تابع چگالی احتمال مشترک به دست آمده توسط
تعدادی توزیع گامای دو متغیره وجود دارد که یکی از آنها توزیع گامای دو متغیره با تابع چگالی احتمالی است.
توزیع گامای دوگانه
توزیع گامای دوگانه یکی از توزیع های دو متغیره با متغیرهای تصادفی گاما دارای پارامتر آلفا و یکی با تابع چگالی احتمال مشترک است.
این چگالی توزیع گامای دوگانه را با متغیرهای تصادفی مربوطه تشکیل می دهد و تابع مولد گشتاور برای توزیع گامای دوگانه است.
رابطه بین توزیع گاما و نمایی | توزیع نمایی و گاما | توزیع نمایی گاما
از آنجایی که توزیع نمایی توزیعی با تابع چگالی احتمال است
و توزیع گاما تابع چگالی احتمال است
به وضوح مقدار آلفا را اگر یکی قرار دهیم، توزیع نمایی را دریافت خواهیم کرد، یعنی توزیع گاما چیزی نیست جز تعمیم توزیع نمایی، که زمان انتظار را تا وقوع nمین رویداد بعدی پیش بینی می کند در حالی که توزیع نمایی انتظار را پیش بینی می کند. زمان تا وقوع رویداد بعدی
توزیع گامای مناسب
تا آنجا که برازش داده های داده شده در قالب توزیع گاما مستلزم یافتن تابع چگالی احتمال دو پارامتر است که شامل پارامترهای شکل، مکان و مقیاس است، بنابراین یافتن این پارامترها با کاربردهای مختلف و محاسبه میانگین، واریانس، انحراف معیار و تابع تولید لحظه برازش توزیع گاما استاز آنجایی که مسائل مختلف زندگی واقعی در توزیع گاما مدل‌سازی می‌شوند، بنابراین اطلاعات بر حسب موقعیت باید در توزیع گاما مناسب باشد برای این منظور تکنیک‌های مختلف در محیط‌های مختلف در حال حاضر وجود دارد مانند R، Matlab، Excel و غیره.
توزیع گامای تغییر یافته
هر زمان که نیاز به تغییر توزیع مورد نیاز از توزیع گامای دو پارامتری باشد، سه پارامتر تعمیم یافته جدید یا هر توزیع گامای تعمیم یافته دیگری، مکان و مقیاس شکل را تغییر می دهد، چنین توزیع گاما به عنوان توزیع گامای جابجا شده شناخته می شود.
توزیع گامای کوتاه
اگر محدوده یا دامنه توزیع گاما را برای مقیاس شکل و پارامترهای مکان محدود کنیم، توزیع گامای محدود بر اساس شرایط به عنوان توزیع گامای کوتاه شناخته می‌شود.
تابع بقای توزیع گاما
تابع بقا برای توزیع گاما تابع s(x) به صورت زیر تعریف می شود
میلی لیتر توزیع گاما | حداکثر احتمال توزیع گاما | تابع احتمال توزیع گاما
می دانیم که حداکثر احتمال، نمونه را از جامعه به عنوان نماینده می گیریم و این نمونه را به عنوان تخمینگر تابع چگالی احتمال در نظر می گیریم تا پارامترهای تابع چگالی را به حداکثر برسانیم، قبل از اینکه به توزیع گاما برویم، برخی از اصول اولیه را برای متغیر تصادفی X به یاد بیاوریم. تابع چگالی احتمال با پارامتر تتا دارای تابع درستنمایی است
این را می توانیم به صورت بیان کنیم
و روش به حداکثر رساندن این تابع احتمال می تواند باشد
اگر چنین تتا این معادله را برآورده کند، و از آنجا که log تابع یکنواخت است، می توانیم بر حسب log بنویسیم.
و چنین برتری وجود دارد اگر
اکنون حداکثر احتمال را برای تابع توزیع گاما به عنوان اعمال می کنیم
احتمال ورود تابع خواهد بود
همینطور است
و از این رو
این را نیز می توان به عنوان دست یافت
by
و پارامتر را می توان با تفکیک به دست آورد
روش تخمین پارامتر توزیع گاما ممان | روش توزیع گاما برآوردگر گشتاور
ما می‌توانیم ممان‌های جامعه و نمونه را به ترتیب با کمک انتظار مرتبه n محاسبه کنیم، روش گشتاور این گشتاورهای توزیع و نمونه را برای تخمین پارامترها معادل می‌کند، فرض کنید نمونه‌ای از متغیر تصادفی گاما با تابع چگالی احتمال داریم.
می دانیم که اولین لحظه های یدک کش برای این تابع چگالی احتمال است
so
اگر لامبدا را جایگزین کنیم از لحظه دوم می گیریم
و از این مقدار آلفا است
و حالا لامبدا خواهد بود
و تخمینگر لحظه ای با استفاده از نمونه خواهد بود
فاصله اطمینان برای توزیع گاما
فاصله اطمینان برای توزیع گاما روشی برای تخمین اطلاعات و عدم قطعیت آن است که نشان می دهد فاصله مورد انتظار مقدار واقعی پارامتر را در چند درصد داشته باشد، این فاصله اطمینان از مشاهدات متغیرهای تصادفی به دست می آید، زیرا از آن به دست می آید. تصادفی خود تصادفی است برای به دست آوردن فاصله اطمینان برای توزیع گاما، تکنیک های مختلفی در کاربردهای مختلف وجود دارد که باید از آنها پیروی کنیم.
مزدوج توزیع گاما قبل برای توزیع نمایی | توزیع قبلی گاما | توزیع خلفی پواسون گاما
توزیع پسین و پیشین اصطلاحات بیزی هستند نظریه احتمالی و آنها با یکدیگر مزدوج هستند، هر دو توزیع مزدوج هستند اگر قسمت خلفی یک توزیع توزیع دیگری باشد، از نظر تتا نشان می دهیم که توزیع گاما قبل از توزیع نمایی مزدوج است.
اگر تابع چگالی احتمال از توزیع گاما از نظر تتا به عنوان است
فرض کنید تابع توزیع تتا از داده های داده شده نمایی است
بنابراین توزیع مشترک خواهد بود
و با استفاده از رابطه
ما
و باور نکردنی
بنابراین توزیع گاما قبل از توزیع نمایی مزدوج است زیرا پسین توزیع گاما است.
تابع کمیت توزیع گاما
تابع قطری توزیع گاما تابعی خواهد بود که نقاطی را در توزیع گاما می دهد که به ترتیب رتبه مقادیر در توزیع گاما مربوط می شود، این به تابع توزیع تجمعی و برای زبان های مختلف الگوریتم و توابع مختلف برای کمیت توزیع گاما نیاز دارد.
توزیع گامای تعمیم یافته
از آنجایی که توزیع گاما خود تعمیم خانواده توزیع نمایی است با افزودن پارامترهای بیشتر به این توزیع، توزیع گامای تعمیم یافته را به ما می دهد که تعمیم بیشتر این خانواده توزیع است، نیازهای فیزیکی تعمیم متفاوتی می دهد که یکی از موارد مکرر استفاده از تابع چگالی احتمال است. مانند
تابع توزیع تجمعی برای چنین توزیع گامای تعمیم یافته را می توان به دست آورد
که در آن عدد نشان دهنده تابع گامای ناقص است
با استفاده از این تابع گامای ناقص، تابع بقا برای توزیع گامای تعمیم یافته را می توان به صورت
نسخه دیگری از این سه پارامتر توزیع گامای تعمیم یافته دارای تابع چگالی احتمال است
که در آن k، β، θ پارامترهای بزرگتر از صفر هستند، این تعمیم دارای مسائل همگرایی برای غلبه بر پارامترهای Weibull است.
با استفاده از این پارامتر، همگرایی تابع چگالی به دست می آید، بنابراین تعمیم بیشتر برای توزیع گاما با همگرایی، توزیع با تابع چگالی احتمالی است.
توزیع گامای تعمیم یافته بتا
توزیع گاما شامل پارامتر بتا در تابع چگالی است که به همین دلیل گاهی اوقات توزیع گاما به عنوان توزیع گامای تعمیم یافته بتا با تابع چگالی شناخته می شود.
با تابع توزیع تجمعی به عنوان
که قبلاً در بحث توزیع گاما به تفصیل مورد بحث قرار گرفته است، توزیع گامای تعمیم یافته بتا با cdf به صورت تعریف شده است.
که در آن B(a,b) تابع بتا است و تابع چگالی احتمال برای آن را می توان با تمایز به دست آورد و تابع چگالی خواهد بود.
در اینجا G(x) توزیع تجمعی تعریف شده در بالا است تابع از توزیع گاما، اگر این مقدار را قرار دهیم، تابع توزیع تجمعی توزیع گامای تعمیم یافته بتا است.
و تابع چگالی احتمال
باقیمانده خواص را می توان برای این توزیع گامای تعمیم یافته بتا گسترش داد با تعاریف معمول
نتیجه:
اشکال مختلف و تعمیم وجود دارد توزیع گاما و خانواده نمایی توزیع گاما بر اساس موقعیت های واقعی زندگی تا امکان پذیر است، این گونه اشکال و تعمیم ها علاوه بر این با روش های تخمین توزیع گاما در نمونه گیری از اطلاعات جامعه پوشش داده شده است، در صورت نیاز به مطالعه بیشتر در مورد خانواده نمایی توزیع گاما، لطفاً از لینک زیر استفاده کنید. و کتاب ها برای موضوعات بیشتر در مورد ریاضی لطفا مراجعه کنید صفحه ما.
https://en.wikipedia.org/wiki/Gamma_distribution
اولین دوره در احتمال توسط شلدون راس
طرح کلی احتمالات و آمار Schaum
مقدمه ای بر احتمال و آمار توسط روحتگی و صالح
