متغیر تصادفی گسسته و انتظارات ریاضی

معمولاً ما به تمام نتایج احتمالی هر آزمایش تصادفی یا غیرتصادفی علاقه مند نیستیم، در عوض به احتمال یا مقدار عددی برای رویدادهای مطلوب علاقه مندیم، برای مثال فرض کنید ما دو تاس برای مجموع 8 می اندازیم، در این صورت نیستیم. علاقه مند به نتیجه به عنوان تاس اول داشتن 2 تاس دوم به عنوان 6 یا (3,5،5,3)، (4,4،6,2)، (XNUMX،XNUMX)، (XNUMX،XNUMX)، و غیره است. به همین ترتیب برای آزمایش تصادفی مخزن در زندگی روزمره، ما علاقه مند به افزایش یا کاهش روزانه سطح آب نیستیم، بلکه فقط علاقه مند به سطح آب فصل بارانی پس از اتمام هستیم.

بنابراین چنین کمیت های عددی که ما به آنها علاقه مندیم به عنوان متغیر تصادفی آزمایش تصادفی مربوطه در نظر گرفته می شوند. برای این منظور، مقادیر واقعی ممکن را به نتایج آزمایش تصادفی به صورت عددی اختصاص می دهیم. برای نشان دادن تخصیص مقدار عددی به نتیجه، آزمایش پرتاب یک سکه را در نظر بگیرید، در فضای نمونه آزمایش تصادفی، به ترتیب مقدار 0 و 1 را برای سر و دنباله اختصاص می دهیم. 

متغیر تصادفی گسسته

متغیر تصادفی گسسته می توان آن را به عنوان متغیر تصادفی تعریف کرد که تعداد آنها محدود یا قابل شمارش است و آنهایی که متناهی یا نامتناهی نیستند متغیرهای تصادفی غیر گسسته هستند. برای هر عنصر فضای نمونه که یک عدد واقعی را اختصاص می‌دهیم، می‌توان آن را برحسب تابع ارزش واقعی که با X نشان داده می‌شود، یعنی X:S→R تفسیر کرد. این تابع را یک متغیر تصادفی یا تابع تصادفی می نامیم که دارای اهمیت فیزیکی، هندسی یا هر چیز دیگری است.

مثال: یک آزمایش پرتاب دو تاس را در نظر بگیرید سپس متغیر تصادفی یا را فرض کنید تابع تصادفی مجموع نقاط ظاهر شده روی تاس و سپس مقادیر ممکن برای فضای نمونه را نشان می دهد

S={(1,1،1)، (2، 1,3)، (1,4،1,5)، (1,6،XNUMX)، (XNUMX،XNUMX)، (XNUMX،XNUMX)،

          (2,1،2,2)، (2,3،2,4)، (2,5،2,6)، (XNUMX،XNUMX)، (XNUMX،XNUMX)، (XNUMX،XNUMX)،

          (3,1،3,2)، (3,3،3,4)، (3,5،3,6)، (XNUMX،XNUMX)، (XNUMX،XNUMX)، (XNUMX،XNUMX)،

        (4,1،4,2)، (4,3،4,4)، (4,5،4,6)، (XNUMX،XNUMX)، (XNUMX،XNUMX)، (XNUMX،XNUMX)،

        (5,1،5,2)، (5,3،5,4)، (5,5،5,6)، (XNUMX،XNUMX)، (XNUMX،XNUMX)، (XNUMX،XNUMX)،

        (6,1،6,2)، (6,3،6,4)، (6,5،6,6)، (XNUMX،XNUMX)، (XNUMX،XNUMX)، (XNUMX،XNUMX)}

X=2 خواهد بود، برای (1,1،XNUMX)

X=3 برای (1,2،2,1)، (XNUMX،XNUMX) و غیره از موارد زیر به راحتی می توانیم بفهمیم

X = 2	(1,1)	(1,2)	(1,3)	(1,4)	(1,5)	(1,6)
X = 3	(2,1)	(2,2)	(2,3)	(2,4)	(2,5)	(2,6)
X = 4	(3,1)	(3,2)	(3,3)	(3,4)	(3,5)	(3,6)
	(4,1)	(4,2)	(4,3)	(4,4)	(4,5)	(4,6)
X = 5	(5,1)	(5,2)	(5,3)	(5,4)	(5,5)	(5,6)
X = 6	(6,1)	(6,2)	(6,3)	(6,4)	(6,5)	(6,6)
X = 7	X = 8	X = 9	X = 10	X = 11		X = 12

در جدول بالا، عناصر مورب از راست به چپ، مجموع بیان شده توسط متغیر تصادفی یا تابع تصادفی را نشان می دهند.

احتمال متغیر تصادفی مربوطه را می توان به صورت زیر بیان کرد

توزیع احتمال گسسته

توزیع احتمال گسسته احتمالات متغیرهای تصادفی است که ماهیت گسسته دارند، به ویژه اگر x₁، ایکس₂، ایکس₃، ایکس₄، ……….، ایکس_k ارزش های هستند متغیر تصادفی گسسته X سپس P(x₁)، P(x₂)، P(x₃)، P(x₄, ……… .P(x_k) احتمالات مربوطه هستند.

تابع احتمال/توزیع احتمال را می توانیم به عنوان نشان دهیم 

P(X=x)=f(x)

و به دنبال تعریف احتمال این تابع شرایط زیر را برآورده می کند.

1. f(x)≥0
2. Σ f(x)=1، که در آن این جمع جمع کل برای x است.

مثال: اگر یک سکه دو بار پرتاب شود، اگر تعداد دنباله ها را به صورت متغیر تصادفی X بیان کنیم، آنگاه خواهد بود. 

عواقب	TT	TH	HT	HH
X	2	1	1	0

اگر سکه منصفانه را در نظر بگیریم، نتیجه بالا برای دوبار پرتاب خواهد بود و احتمال چنین متغیر تصادفی خواهد بود.

P (X=0) = P (H,H) =1/4

P (X=1) = P (TH یا HT) = P (TH ∪ HT) = P (TH) + P (HT) = 1/4+1/4=1/2

و P (X=2) = P (TT) = 1/4

این توزیع احتمال را می توانیم به صورت جدول بندی کنیم

X	0	1	2
P(X=x)=f(x)	¼	½	1 / 4

تابع توزیع تجمعی (cdf) / تابع توزیع

تعریف خواهیم کرد تابع توزیع or تابع توزیع تجمعی (cdf) برای متغیر تصادفی گسسته X نشان داده شده با F(x)، برای-∞≤x≤∞ به عنوان

F(x)=P(X≤x)

مشروط بر اینکه به شرح زیر باشد

1. برای هر x,y, x≤y, F(x) ≤ F(y) یعنی تابع توزیع تجمعی F(x) غیر کاهشی است.
2. F(x) =0 و F(x)=1
3. F(x+h)=F(x)، ∀ x یعنی . تابع توزیع تجمعی F(x) راست پیوسته است.

از آنجایی که برای متغیر تصادفی گسسته احتمال X=x P(X=x)، برای x است₁<X<x₂ P(x خواهد بود₁<X<x₂) و برای X≤x P(X≤x) است.

می توانیم تابع توزیع را برای تابع توزیع گسسته به صورت زیر بنویسیم

می توانیم تابع احتمال را از تابع توزیع به عنوان بدست آوریم

P (X=x) = f(x) =F(x)-F(u)

مثال: La احتمال برای متغیر تصادفی گسسته به صورت زیر آورده شده است

X	0	1	2	3	4	5	6	7
P(x)	0	1 / 10	1 / 5	1 / 5	3 / 10	1 / 100	1 / 50	17 / 100

F2، F5، F(7) را پیدا کنید؟

راه حل:

انتظارات ریاضی 

   انتظار ریاضی مفهوم بسیار مهمی برای نظریه احتمالی و همچنین از نظر آمار به عنوان انتظار یا مقدار مورد انتظار نیز شناخته می شود، می توان آن را به عنوان جمع متغیرهای تصادفی و احتمالات آن در ضرب تعریف کرد، یعنی اگر x₁، ایکس₂، ایکس₃، ایکس₄، ……….ایکس_n مقادیر متغیر تصادفی گسسته X و سپس P(x هستند₁), P (x₂), P (x₃), P (x₄)،……….P(xn) احتمالات مربوطه هستند انتظارات ریاضی از متغیر تصادفی X که با E(x) نشان داده می شود

مثال: از یک بسته 72 کارتی که از 1 تا 72 شماره گذاری شده اند، هر بار 8 کارت کشیده می شود، مقدار مورد انتظار مجموع اعداد روی بلیط های کشیده شده را بیابید.

راه حل:. متغیرهای تصادفی x را در نظر بگیرید₁، ایکس₂، ایکس₃، ایکس₄،……….ایکس_n نشان دهنده کارت های شماره 1، 2، 3، 4، ………، 72

بنابراین احتمال هر x از 72 کارت است 

P(x_i)=1/n=1/72

از آن زمان انتظار خواهد بود

E(x)=x₁.(1/n)+x₂.(1/n)+x₃.(1/n)+……………+x_n.(1/n)

E(x)=1.(1/n)+2.(1/n)+3.(1/n)+……………+72.(1/n)

={1+2+3+……………..+72}*(1/72)=72*(72+1)/2*(1/72)=73/2

اکنون مقدار مورد انتظار برای 8 کارت خواهد بود 

E(x)=x₁.(1/n)+x₂.(1/n)+x₃.(1/n)+……………+x₈.(1/n)

E(x)=1.(1/n)+2.(1/n)+3.(1/n)+……………+8.(1/n)

={1+2+3+……………..+8}*(1/72)

=8*(8+1)/2*(1/72)=12

واریانس, انحراف معیار و انحراف متوسط توسط انتظارات ریاضی

La مفاهیم مهم آمار انحراف معیار و واریانس ما می توانیم بر حسب انتظارات ریاضی بیان کنیم، بنابراین اگر متغیرهای تصادفی x₁، ایکس₂، ایکس₃، ایکس₄، ……….ایکس_n با احتمالات مربوطه P(x₁)، P(x₂)، P(x₃)، P(x₄), ……….P (x_n) سپس واریانس خواهد بود

مثال: در یک بازی، اگر از یک تاس منصفانه استفاده شود، بازیکن برنده خواهد شد اگر مقدار عجیبی روی تاس بیاید و اگر یک تاس بیاید، 20 روپیه، برای 1 تاس 40 روپیه، و برای 3 تاس 60 روپیه و اگر هر صورت دیگری از تاس باشد، جایزه به شما تعلق می گیرد. ضرر 5 روپیه ای برای این بازیکن به همراه داشت. پول مورد انتظاری را که می توان با واریانس و انحراف معیار بدست آورد را پیدا کنید.

راه حل:

برای تاس منصفانه، ما توزیع احتمالات را می دانیم،

X	1	2	3	4	5	6
P(X=x)	1 / 6	1 / 6	1 / 6	1 / 6	1 / 6	1 / 6

اجازه دهید X متغیر تصادفی برای تبدیل تاس بر اساس نیاز بازی، پول برد یا باخت در صورت آمدن چهره به صورت زیر باشد.

X	+ 20	-10	40	-10	60	-10
P(X=x)	1 / 6	1 / 6	1 / 6	1 / 6	1 / 6	1 / 6

بنابراین مقدار مورد انتظار برنده شده توسط هر بازیکن خواهد بود

  E(x)=(20).(1/6)+(-10).(1/6)+(40).(1/6)+(-10).(1/6)+(60).(1/6)+(-10).(1/6)=15

بنابراین مقدار مورد انتظار برنده شده توسط هر بازیکن m=15 خواهد بود

نتیجه انتظارات ریاضی و همچنین واریانس را می توان برای بیش از دو متغیر بر حسب نیاز تعمیم داد.

نتیجه:

   در این مقاله عمدتاً متغیر تصادفی گسسته، توزیع احتمال و تابع توزیع معروف به تابع توزیع تجمعی cdf، همچنین مفهوم انتظارات ریاضی برای متغیر تصادفی گسسته و اینکه میانگین انحراف، واریانس و انحراف معیار برای چنین متغیرهای تصادفی گسسته چیست، با کمک مثال های مناسب در مقاله بعدی توضیح داده شده است، در مورد متغیر تصادفی پیوسته نیز به همین صورت صحبت خواهیم کرد، اگر می خواهید مطالعه بیشتری داشته باشید، به ادامه مطلب بروید:

برای مطالب بیشتر در مورد ریاضیات، لطفاً این مطلب را دنبال کنید پیوند.

طرح کلی احتمالات و آمار Schaum

https://en.wikipedia.org/wiki/Probability