کوواریانس، واریانس مجموع: 7 واقعیت مهم -

کوواریانس، واریانس مجموع، و همبستگی متغیرهای تصادفی

پارامترهای آماری متغیرهای تصادفی با ماهیت های مختلف با استفاده از تعریف انتظار متغیر تصادفی به راحتی قابل دستیابی و درک است، در ادامه برخی از پارامترها را با کمک انتظار ریاضی از متغیر تصادفی خواهیم یافت.

لحظه هایی از تعداد رویدادهایی که رخ می دهند

تا اینجا می دانیم که انتظار از متغیرهای تصادفی با قدرت های مختلف، لحظه های متغیرهای تصادفی است و چگونه می توان انتظار متغیر تصادفی را از رویدادها پیدا کرد اگر تعداد رویداد قبلاً رخ داده باشد، اکنون ما علاقه مند به انتظار هستیم که اگر جفت تعداد رویدادها وجود داشته باشد. قبلاً رخ داده است، اکنون اگر X تعداد رویدادهای رخ داده را نشان می دهد، پس برای رویدادهای A₁، A₂، ….،آ_n متغیر شاخص I را تعریف کنید_i as

این شکل رندر شده معادله است. شما نمی توانید این را مستقیماً ویرایش کنید. کلیک راست به شما امکان ذخیره تصویر را می دهد و در اکثر مرورگرها می توانید تصویر را روی دسکتاپ یا برنامه دیگری بکشید.

انتظار X به معنای گسسته خواهد بود

زیرا متغیر تصادفی X است

اکنون برای یافتن انتظارات اگر تعداد جفت رویداد قبلاً رخ داده باشد، باید از آن استفاده کنیم ترکیب as

این به عنوان انتظار می دهد

از این مقدار انتظار مربع x و مقدار واریانس را نیز بدست می آوریم

با استفاده از این بحث، انواع مختلفی از متغیرهای تصادفی را برای یافتن چنین لحظاتی متمرکز می کنیم.

لحظه های متغیرهای تصادفی دو جمله ای

اگر p احتمال موفقیت از n آزمایش مستقل باشد، اجازه دهید A را نشان دهیم_i برای آزمایش من به عنوان موفقیت است

$E\left [ \binom{X}{2} \right ]= \sum_{i< j}^{} p^{2} = \binom{n}{2}p^{2}$

و از این رو واریانس متغیر تصادفی دو جمله ای خواهد بود

زیرا

اگر برای k رویدادها را تعمیم دهیم

$E[X(X-1) \cdot \cdot \cdot \cdot (X-k+1) ] =n(n-1) \cdot\cdot\cdot (n-k+1)p^{k}$

این انتظار را می توانیم به طور متوالی برای مقدار k بزرگتر از 3 بدست آوریم، اجازه دهید برای 3 پیدا کنیم

$E[X^{3} -3X^{2} +2X] =n(n-1)(n-2)p^{3}$

با استفاده از این تکرار می توانیم دریافت کنیم

لحظه های متغیرهای تصادفی فرا هندسی

لحظه های این متغیر تصادفی را با کمک مثالی درک خواهیم کرد، فرض کنید n قلم به طور تصادفی از یک جعبه حاوی N قلم که m آن آبی است انتخاب شده است، بگذارید A_i وقایع را نشان دهید که i-امین قلم آبی است، اکنون X تعداد قلم آبی انتخاب شده برابر با تعداد رویدادهای A است.₁,A₂،…..،آ_n که به این دلیل اتفاق می‌افتد که قلم i انتخاب شده برای هر یک از N قلم‌هایی که m آبی هستند به یک اندازه احتمال دارد

و به همین ترتیب

$E\left [ \binom{X}{2} \right ] =\sum_{i< j}^{}\frac{m(m-1)}{n(n-1)} =\binom{n}{2}\frac{m(m-1)}{n(n-1)}$

این می دهد

بنابراین واریانس متغیر تصادفی فرا هندسی خواهد بود

$= n(n-1)\frac{m(m-1)}{N(N-1)} +\frac{nm}{N} -\frac{n^{2}m^{2}}{N^{2}}$ $=\frac{nm}{N} \left [ \frac{(n-1)(m-1)}{N-1} +1 + -\frac{mn}{N} \right ]$

به روشی مشابه برای لحظات بالاتر

$E\left [ \binom{X}{k} \right ] = \binom{n}{k} \frac{m(m-1)\cdot \cdot \cdot \cdot (m-k+1)}{N(N-1)\cdot \cdot \cdot \cdot (N-k+1)}$

از این رو

لحظات متغیرهای تصادفی ابر هندسی منفی

نمونه ای از بسته بندی حاوی n+m واکسن را در نظر بگیرید که n از آن ها خاص و m معمولی هستند، این واکسن ها یکی یکی برداشته می شوند و هر بار حذف جدید به همان اندازه احتمال دارد که هر یک از واکسن های باقی مانده در بسته باشد. حالا اجازه دهید متغیر تصادفی Y تعداد واکسن هایی را که باید برداشته شوند تا زمانی که کل r واکسن های ویژه حذف شوند، نشان می دهد، که توزیع ابر هندسی منفی است، این به نوعی مشابه با دوجمله ای منفی به دوجمله ای با توزیع ابر هندسی است. برای پیدا کردن احتمال تابع جرم اگر kth قرعه کشی واکسن ویژه را بدهد پس از قرعه کشی k-1 واکسن r-1 ویژه و kr معمولی را می دهد.

اکنون متغیر تصادفی Y

Y=r+X

برای رویدادهای A_i

$E[Y]=r+ m\frac{r}{n+1}=\frac{r(n+m+1)}{n+1}$

بنابراین برای یافتن واریانس Y باید واریانس X را بدانیم

از این رو

کوواریانس

رابطه بین دو متغیر تصادفی را می توان با کوواریانس پارامتر آماری نشان داد، قبل از تعریف کوواریانس دو متغیر تصادفی X و Y یادآوری می کنیم که انتظار دو تابع g و h از متغیرهای تصادفی X و Y به ترتیب نشان می دهد.

با استفاده از این رابطه انتظار می توانیم کوواریانس را به صورت تعریف کنیم

کوواریانس بین متغیر تصادفی X و متغیر تصادفی Y که با cov(X,Y) نشان داده شده است به صورت تعریف شده است.

با استفاده از تعریف انتظار و بسط می گیریم

$=E[XY] - E[X]E[Y] - E[X]E[Y] +E[X]E[Y]$ $=E[XY] - E[X]E[Y]$

واضح است که اگر متغیرهای تصادفی X و Y مستقل باشند پس

اما برعکس آن برای مثال اگر

و تعریف متغیر تصادفی Y به عنوان

در اینجا به وضوح X و Y مستقل نیستند اما کوواریانس صفر است.

ویژگی های کوواریانس

کوواریانس بین متغیرهای تصادفی X و Y دارای خواصی به شرح زیر است

با استفاده از تعریف خارج از کوواریانس، سه ویژگی اول فوری هستند و ویژگی چهارم با در نظر گرفتن

حالا طبق تعریف

واریانس مبالغ

نتیجه مهم از این خواص است

$Var\left ( \sum_{i=1}^{n} X_{i} \right ) =\sum_{i=1}^{n}Var(X_{i}) +2 \sum \sum_{i< j}^{} Cov(X_{i},X_{j})$

اگر X_i 'ها به صورت جفتی مستقل هستند

مثال: واریانس یک متغیر تصادفی دو جمله ای

اگر X متغیر تصادفی باشد

جایی که X_i متغیرهای تصادفی مستقل برنولی به گونه ای هستند که

سپس واریانس یک متغیر تصادفی دو جمله ای X با پارامترهای n و p را پیدا کنید.

راه حل:

پس از

بنابراین برای تک متغیر ما داریم

بنابراین واریانس است

مثال

برای متغیرهای تصادفی مستقل X_i با میانگین و واریانس مربوطه و یک متغیر تصادفی جدید با انحراف به عنوان

سپس محاسبه کنید

راه حل:

با استفاده از ویژگی و تعریف فوق در اختیار داریم

$=\left ( \frac{1}{n} \right )^{2} \sum_{i=1}^{n} Var(X_{i}) \ \ by \ \ independence$

اکنون برای متغیر تصادفی S

انتظار را بردار

مثال:

کوواریانس توابع شاخص را برای رویدادهای A و B پیدا کنید.

راه حل:

برای رویدادهای A و B توابع نشانگر هستند

بنابراین انتظار از این هستند

بنابراین کوواریانس است

مثال:

نشان می دهد که

جایی که X_i متغیرهای تصادفی مستقل با واریانس هستند.

راه حل:

کوواریانس با استفاده از خصوصیات و تعریف خواهد بود

مثال:

میانگین و واریانس متغیر تصادفی S را محاسبه کنید که مجموع n مقدار نمونه برداری شده است اگر مجموعه ای از N نفر که هر یک از آنها نظری در مورد موضوع خاصی دارند که با یک عدد واقعی اندازه گیری می شود. v که بیانگر "قدرت احساس" فرد در مورد موضوع است. اجازه دهید نشان دهنده قدرت احساس فرد است که ناشناخته است، برای جمع آوری اطلاعات یک نمونه n از N به صورت تصادفی گرفته شده، از این n نفر سوال شده و احساس آنها برای محاسبه vi بدست می آید.

راه حل

اجازه دهید تابع نشانگر را به صورت تعریف کنیم

بنابراین می توانیم S را به صورت بیان کنیم

و انتظار آن به عنوان

این واریانس را به عنوان نشان می دهد

پس از

ما

ما هویت را می دانیم

بنابراین میانگین و واریانس برای متغیر تصادفی مذکور خواهد بود

نتیجه:

همبستگی بین دو متغیر تصادفی به صورت کوواریانس تعریف می شود و با استفاده از کوواریانس مجموع واریانس برای متغیرهای تصادفی مختلف به دست می آید، کوواریانس و لحظه های مختلف با کمک تعریف انتظار به دست می آید، در صورت نیاز به مطالعه بیشتر ادامه دهید.

https://en.wikipedia.org/wiki/Expectation

اولین دوره در احتمال توسط شلدون راس

طرح کلی احتمالات و آمار Schaum

مقدمه ای بر احتمال و آمار توسط روحتگی و صالح.

برای پست بیشتر در مورد ریاضیات، لطفا ما را دنبال کنید صفحه ریاضی

کوواریانس، واریانس مجموع، و همبستگی متغیرهای تصادفی

لحظه هایی از تعداد رویدادهایی که رخ می دهند

لحظه های متغیرهای تصادفی دو جمله ای

لحظه های متغیرهای تصادفی فرا هندسی

لحظات متغیرهای تصادفی ابر هندسی منفی

کوواریانس

ویژگی های کوواریانس

واریانس مبالغ

مثال: واریانس یک متغیر تصادفی دو جمله ای

مثال

مثال:

مثال:

مثال:

نتیجه:

پست‌های مرتبط