متغیر تصادفی پیوسته، انواع و توزیع آن

     متغیر تصادفی که مقادیر متناهی یا نامتناهی قابل شمارش را می گیرد به عنوان متغیر تصادفی گسسته شناخته می شود و جفت آن با احتمال، توزیع متغیر تصادفی گسسته را تشکیل می دهد. حال برای متغیر تصادفی که مقادیر را غیرقابل شمارش می‌گیرد، احتمال و مشخصه‌های باقی‌مانده که می‌خواهیم بحث کنیم چقدر خواهد بود. بنابراین به طور خلاصه، متغیر تصادفی پیوسته، متغیر تصادفی است که مجموعه مقادیر آن غیرقابل شمارش است. مثال واقعی برای متغیر تصادفی پیوسته، طول عمر قطعات الکتریکی یا الکترونیکی و رسیدن یک وسیله نقلیه عمومی خاص به ایستگاه‌ها و غیره است.

متغیر تصادفی پیوسته و تابع چگالی احتمال

                متغیر تصادفی  متغیر تصادفی پیوسته خواهد بود اگر برای یک تابع با ارزش واقعی غیر منفی f روی x ∈ ℝ و B ⊆ ℝ و

این تابع f به عنوان شناخته می شود عملکرد چگالی احتمال  از متغیر تصادفی داده شده X.

La تابع چگالی احتمال بدیهی است که بدیهیات احتمال زیر را برآورده می کند

از آنجایی که از بدیهیات احتمال می دانیم که احتمال کل یک است

برای متغیر تصادفی پیوسته، احتمال بر حسب تابع f محاسبه می‌شود، فرض کنید می‌خواهیم احتمال بازه پیوسته را پیدا کنیم، مثلاً [a, b]

همانطور که می دانیم ادغام مساحت زیر منحنی را نشان می دهد بنابراین این احتمال چنین ناحیه ای را برای احتمالاتی مانند

با معادل سازی a=b مقدار خواهد شد

و به همین ترتیب احتمال مقدار کمتر یا مساوی با مقدار خاص با پیروی از این خواهد بود

مثال: زمان کار پیوسته قطعه الکترونیکی به صورت متغیر تصادفی پیوسته و تابع چگالی احتمال به صورت داده شده است.

احتمال اینکه مولفه به طور موثر بین 50 تا 150 ساعت کار کند و احتمال کمتر از 100 ساعت را پیدا کنید.

از آنجایی که متغیر تصادفی نشان دهنده متغیر تصادفی پیوسته است، بنابراین تابع چگالی احتمال داده شده در سوال، احتمال کل را به صورت

بنابراین ما ارزش آن را دریافت خواهیم کرد λ

λ = 1/100

برای احتمال 50 ساعت تا 150 ساعت داریم

به همین ترتیب احتمال کمتر از 100 خواهد بود

مثال: دستگاه مبتنی بر کامپیوتر دارای تعدادی چیپست با طول عمر تابع چگالی احتمال است

سپس بعد از 150 ساعت این احتمال را پیدا کنید که باید 2 چیپست را از مجموع 5 تراشه جایگزین کنیم.

در نظر بگیریم E_i رویدادی برای جایگزینی چیپست i-ام باشد. بنابراین احتمال چنین رویدادی خواهد بود

همانطور که همه تراشه ها مستقل کار می کنند، بنابراین احتمال جایگزینی 2 خواهد بود

تابع توزیع تجمعی

  تابع توزیع تجمعی برای متغیر تصادفی پیوسته با کمک تابع توزیع احتمال به صورت تعریف شده است

به شکل دیگری

ما می توانیم تابع چگالی احتمال را با کمک تابع توزیع به دست آوریم

انتظارات ریاضی و واریانس متغیر تصادفی پیوسته

چشم داشت

La انتظارات ریاضی یا میانگین متغیر تصادفی پیوسته  تابع چگالی احتمال را می توان به صورت تعریف کرد

• برای هر تابع با ارزش واقعی متغیر تصادفی پیوسته انتظار X خواهد بود

که در آن g مقدار واقعی است تابع.

1. برای هر استمراری غیر منفی متغیر تصادفی Y انتظار خواهد بود

• برای هر ثابت a و b

E[aX + b] = aE[X] + b

واریانس

                واریانس متغیر تصادفی پیوسته X با پارامتر میانگین یا انتظار  را می توان به روشی مشابه با متغیر تصادفی گسسته تعریف کرد

   گواه تمام موارد فوق ویژگی های انتظار و واریانس با دنبال کردن مراحلی که در متغیر تصادفی گسسته داریم و تعاریف انتظار، واریانس و احتمال بر حسب متغیر تصادفی پیوسته می توانیم به راحتی به دست آوریم.

مثال: اگر تابع چگالی احتمال متغیر تصادفی پیوسته X توسط

سپس انتظار و واریانس متغیر تصادفی پیوسته X را پیدا کنید.

راه حل:  برای تابع چگالی احتمال داده شده

مقدار مورد انتظار طبق تعریف خواهد بود

اکنون برای یافتن واریانس به E[X نیاز داریم²]

پس از

so

متغیر تصادفی یکنواخت

    اگر متغیر تصادفی پیوسته X دارای تابع چگالی احتمال باشد که توسط

در بازه (0,1،XNUMX) سپس این توزیع به عنوان توزیع یکنواخت و متغیر تصادفی به عنوان متغیر تصادفی یکنواخت شناخته می شود.

• برای هر ثابت a و b طوری که 0 باشد

انتظارات و واریانس متغیر تصادفی یکنواخت

      برای متغیر تصادفی پیوسته یکنواخت X در بازه عمومی (α, β) انتظار طبق تعریف خواهد بود.

و واریانس را اگر اولین E[X را پیدا کنیم به دست خواهیم آورد²]

so

مثال: در یک ایستگاه خاص قطارهای مقصد مورد نظر با فرکانس 15 دقیقه از ساعت 7 صبح می رسند برای مسافری که در ایستگاه بین ساعت 7 تا 7.30:5 به طور یکنواخت توزیع می شود احتمال اینکه مسافر در عرض 10 دقیقه قطار بگیرد چقدر خواهد بود. و احتمالش برای بیش از XNUMX دقیقه چقدر خواهد بود.

راه حل: از آنجایی که زمان از 7 تا 7.30 به طور یکنواخت برای مسافر در ایستگاه راه آهن توزیع می شود، آن را با متغیر تصادفی یکنواخت X نشان دهید. بنابراین فاصله زمانی (0، 30) خواهد بود.

از آنجایی که برای رسیدن به قطار در عرض 5 دقیقه، مسافر باید بین ساعت 7.10 تا 7.15 یا 7.25 تا 7.30 در ایستگاه باشد، بنابراین احتمال آن خواهد بود.

= 1/3

به همین ترتیب برای سوار شدن به قطار پس از انتظار بیش از 10 دقیقه، مسافر باید از ساعت 7 تا 7.05/7.15 یا 7.20/XNUMX تا XNUMX/XNUMX در ایستگاه حضور داشته باشد بنابراین احتمال آن خواهد بود.

مثال: احتمال متغیر تصادفی یکنواخت X توزیع شده در بازه (0,10،XNUMX) را بیابید.

برای X<3، X>6 و 3

راه حل: از آنجایی که متغیر تصادفی به صورت یکنواخت توزیع شده است، بنابراین احتمالات نیز خواهند بود

مثال: (پارادوکس برتراندز) برای هر وتر تصادفی یک دایره. احتمال اینکه طول آن وتر تصادفی از ضلع مثلث متساوی الاضلاع محاط شده در همان دایره بیشتر باشد چقدر خواهد بود.

این مسئله در مورد وتر تصادفی خلاصی ندارد، بنابراین این مسئله از نظر قطر یا زاویه مجدداً فرمول بندی شد و سپس به صورت 1/3 پاسخ داده شد.

نتیجه:

   در این مقاله مفهوم متغیر تصادفی پیوسته و توزیع آن با تابع چگالی احتمال مورد بحث قرار گرفته و پارامتر آماری میانگین و واریانس برای متغیر تصادفی پیوسته آورده شده است. متغیر تصادفی یکنواخت و توزیع آن با مثال آورده شده است که نوع متغیر تصادفی پیوسته است در مقاله متوالی به انواع مهم متغیرهای تصادفی پیوسته با مثال ها و ویژگی های مناسب می پردازیم. اگر می‌خواهید بیشتر بخوانید، به ادامه مطلب بروید:

طرح کلی احتمالات و آمار Schaum

https://en.wikipedia.org/wiki/Probability

اگر می خواهید موضوعات بیشتری در مورد ریاضیات بخوانید، به ادامه مطلب بروید صفحه ریاضیات.