در این مقاله واریانس شرطی و پیش‌بینی‌ها با استفاده از انتظار شرطی برای انواع مختلف متغیر تصادفی با چند مثال مورد بحث قرار می‌دهیم.
واریانس شرطی
واریانس شرطی متغیر تصادفی X با توجه به Y به روشی مشابه تعریف شده است. انتظار متغیر تصادفی X با Y به عنوان
(X|Y)=E[(XE[X|Y])2|Y]
در اینجا واریانس انتظار شرطی تفاوت بین متغیر تصادفی و مجذور انتظار شرطی X با توجه به Y زمانی است که مقدار Y داده می شود.
رابطه بین واریانس شرطی و انتظار مشروط is
(X|Y) = E[X2|Y] - (E[X|Y])2
E[(X|Y)] = E[E[X2|Y]] – E[(E[X|Y])2]
= E[X2] – E[(E[X\Y])2]
از آنجایی که E[E[X|Y]] = E[X]، داریم
(E[X|Y]) = E[(E[X|Y])2] - (سابق])2
این به نوعی شبیه به رابطه واریانس بدون قید و شرط و انتظار است
Var(X) = E[X2] - (سابق])2
و ما می توانیم واریانس را با کمک واریانس شرطی به عنوان پیدا کنیم
Var(X) = E[var(X|Y] + var(E[X|Y])
مثالی از واریانس شرطی
میانگین و واریانس تعداد مسافرانی که وارد اتوبوس می‌شوند را بیابید اگر افرادی که به انبار اتوبوس رسیده‌اند پواسون با میانگین λt توزیع شده باشد و اتوبوس اولیه وارد شده به انبار اتوبوس به طور یکنواخت در بازه (0,T) مستقل از افراد توزیع شود. رسیده یا نه
راه حل:
برای یافتن میانگین و واریانس اجازه برای هر زمان t، Y متغیر تصادفی برای زمان رسیدن اتوبوس و N(t) تعداد ورود است.
E[N(Y)|Y = t] = E[N(t)|Y = t]
با استقلال Y و N(t)
=λt
از آنجایی که N(t) پواسون با میانگین است \lambda t
از این رو
E[N(Y)|Y]=λY
بنابراین گرفتن انتظارات می دهد
E[N(Y)] = λE[Y] = λT/2
برای بدست آوردن Var(N(Y))، از فرمول واریانس شرطی استفاده می کنیم
بنابر این
(N(Y)|Y) = λY
E[N(Y)|Y] = λY
بنابراین، از فرمول واریانس شرطی،
Var(N(Y)) = E[λY]+(λY)
=λT/2 + λ2T2/ 12
جایی که ما از این واقعیت استفاده کرده ایم که Var(Y)=T2 / 12
واریانس مجموع تعداد تصادفی متغیرهای تصادفی
دنباله مستقل و یکسان را در نظر بگیرید توزیع شده متغیرهای تصادفی X1,X2,X3،………. و یک متغیر تصادفی دیگر N مستقل از این دنباله را خواهیم یافت واریانس مجموع از این دنباله به عنوان
با استفاده از
که با تعریف واریانس و واریانس شرطی برای هر متغیر تصادفی به مجموع توالی متغیرهای تصادفی بدیهی است.
پیش گویی
در پیش بینی، مقدار یک متغیر تصادفی را می توان بر اساس مشاهده متغیر تصادفی دیگر پیش بینی کرد، برای پیش بینی متغیر تصادفی Y اگر متغیر تصادفی مشاهده شده X باشد، از g(X) به عنوان تابعی استفاده می کنیم که مقدار پیش بینی شده را بیان می کند، بدیهی است که ما سعی کنید g(X) بسته به Y را انتخاب کنید برای این بهترین g g(X)=E(Y|X) است برای این ما باید مقدار g را با استفاده از نابرابری به حداقل برسانیم.
این نابرابری را می توانیم به عنوان دریافت کنیم
با این حال، با توجه به X، E[Y|X]-g(X)، که تابعی از X است، می تواند به عنوان یک ثابت در نظر گرفته شود. بدین ترتیب،
که نابرابری لازم را می دهد
نمونه هایی در مورد پیش بینی
1. مشاهده می شود که قد یک فرد شش فوت است، اگر قد پسر که اکنون x اینچ است به طور معمول با میانگین x+1 و واریانس 4 توزیع شود، قد پسرانش پس از بزرگ شدن چقدر پیش بینی می شود.
راه حل: فرض کنید X متغیر تصادفی نشان دهنده قد فرد باشد و Y متغیر تصادفی برای قد پسر باشد، سپس متغیر تصادفی Y است.
Y=X+e+1
در اینجا e نشان دهنده متغیر تصادفی عادی مستقل از متغیر تصادفی X با میانگین صفر و واریانس چهار است.
بنابراین پیش بینی قد پسران است
بنابراین قد پسر پس از رشد 73 اینچ خواهد بود.
2. نمونه ای از ارسال سیگنال از مکان A و مکان B را در نظر بگیرید، اگر از مکان A یک مقدار سیگنال s ارسال شود که در مکان B با توزیع نرمال با میانگین s و واریانس 1 دریافت می شود در حالی که اگر سیگنال S ارسال شده در A به طور نرمال توزیع می شود. با میانگین \mu و واریانس \sigma^2، چگونه می‌توانیم پیش‌بینی کنیم که مقدار سیگنال R ارسال شده از مکان A دریافت خواهد شد r در مکان B است؟
راه حل: مقادیر سیگنال S و R در اینجا نشان دهنده متغیرهای تصادفی است که به طور معمول توزیع شده اند، ابتدا تابع چگالی شرطی S را پیدا می کنیم که R به عنوان
اکنون این K مستقل از S است
در اینجا نیز سی1 و سی2 مستقل از S هستند، بنابراین مقدار تابع چگالی شرطی است
C نیز در s مستقل است، بنابراین سیگنال ارسال شده از محل A به عنوان R و دریافت در مکان B به عنوان r با میانگین و واریانس نرمال است.
و میانگین مربعات خطا برای این وضعیت است
پیش بینی خطی
هر زمان که تابع چگالی احتمال مشترک را نتوانیم پیدا کنیم حتی میانگین، واریانس و همبستگی بین دو متغیر تصادفی مشخص باشد، در چنین شرایطی پیش بینی خطی یک متغیر تصادفی نسبت به متغیر تصادفی دیگر بسیار مفید است که می تواند حداقل را پیش بینی کند. بنابراین برای پیش بینی خطی متغیر تصادفی Y با توجه به متغیر تصادفی X از a و b استفاده می کنیم تا کمینه کنیم.
اکنون با توجه به a و b به طور جزئی متمایز خواهیم شد
با حل این دو معادله برای a nd b بدست می آوریم
بنابراین به حداقل رساندن این انتظار، پیش بینی خطی را به عنوان می دهد
در جایی که میانگین ها میانگین های مربوط به متغیرهای تصادفی X و Y هستند، خطای پیش بینی خطی با انتظار به دست می آید.
اگر همبستگی کاملاً مثبت یا کاملاً منفی باشد که ضریب همبستگی 1+ یا 1- باشد، این خطا نزدیک به صفر خواهد بود.
نتیجه
واریانس شرطی برای متغیر تصادفی گسسته و پیوسته با مثال‌های مختلف مورد بحث قرار گرفت، یکی از کاربردهای مهم انتظار شرطی در پیش‌بینی نیز با مثال‌های مناسب و با بهترین پیش‌بینی‌کننده خطی توضیح داده شده است، در صورت نیاز به مطالعه بیشتر، لینک‌های زیر را دنبال کنید.
برای پست بیشتر در مورد ریاضیات، لطفا به ما مراجعه کنید صفحه ریاضیات
اولین دوره در احتمال توسط شلدون راس
طرح کلی احتمالات و آمار Schaum
مقدمه ای بر احتمال و آمار توسط روحتگی و صالح
