از آنجایی که متغیر تصادفی وابسته به یکدیگر نیازمند محاسبه احتمالات شرطی است که قبلاً در مورد آن بحث کردیم، اکنون در مورد پارامترهای بیشتری برای چنین متغیرهای تصادفی یا آزمایشاتی مانند انتظار شرطی و واریانس شرطی برای انواع مختلف متغیرهای تصادفی بحث خواهیم کرد.
انتظار مشروط
تعریف تابع جرم احتمال شرطی متغیر تصادفی گسسته X با توجه به Y است
در اینجا pY(y)> 0، پس شرطی است انتظار برای متغیر تصادفی گسسته X به Y داده می شود که pY (y)> 0 باشد
در انتظار فوق احتمال شرطی است احتمال
به طور مشابه اگر X و Y پیوسته باشند، تابع چگالی احتمال شرطی متغیر تصادفی X داده شده Y برابر است.
که در آن f(x,y) تابع چگالی احتمال مشترک و برای همه yf استY(y)> 0، بنابراین انتظار شرطی برای متغیر تصادفی X داده شده y خواهد بود
برای همه yfY(y)> 0.
همانطور که می دانیم که همه خواص احتمال برای شرطی قابل اعمال است احتمال یکسان است برای انتظار شرطی، تمام خصوصیات انتظارات ریاضی با انتظار شرطی ارضا می شوند، برای مثال انتظار شرطی تابع متغیر تصادفی خواهد بود.
و مجموع متغیرهای تصادفی در انتظار شرطی خواهد بود
انتظار شرطی برای مجموع متغیرهای تصادفی دو جمله ای
برای یافتن مشروط انتظار از مجموع متغیرهای تصادفی دو جمله ای X و Y با پارامترهای n و p که مستقل هستند، می دانیم که X+Y نیز متغیر تصادفی دو جمله ای با پارامترهای 2n و p خواهد بود، بنابراین برای متغیر تصادفی X با داده X+Y=m انتظار شرطی با محاسبه به دست می آید. احتمالی
از آنجایی که ما آن را می دانیم
بنابراین انتظار شرطی X با توجه به X+Y=m است
مثال:
انتظار مشروط را پیدا کنید
اگر مفصل تابع چگالی احتمال متغیرهای تصادفی پیوسته X و Y به صورت داده شده است
راه حل:
برای محاسبه انتظار شرطی به تابع چگالی احتمال شرطی نیاز داریم، بنابراین
از آنجایی که برای متغیر تصادفی پیوسته مشروط انتظار است
بنابراین برای تابع چگالی داده شده انتظار شرطی خواهد بود
انتظار با شرطی شدن||انتظار با انتظار شرطی
ما می توانیم محاسبه کنیم انتظارات ریاضی با کمک انتظار شرطی X که Y را به عنوان
برای متغیرهای تصادفی گسسته این خواهد بود
که می توان به عنوان به دست آورد
و برای تصادفی پیوسته می توانیم به طور مشابه نشان دهیم
مثال:
فردی در زیر زمین ساختمان خود گیر افتاده است زیرا ورودی به دلیل بار سنگین مسدود شده است، خوشبختانه سه خط لوله وجود دارد که می تواند از آن خارج شود، اولین لوله بعد از 3 ساعت، لوله دوم بعد از 5 ساعت و خط لوله سوم بعد از 7 ساعت او را به سلامت خارج می کند. XNUMX ساعت، اگر هر یک از این خطوط لوله به همان اندازه توسط او انتخاب شود، پس چه زمانی انتظار می رود که او با خیال راحت به بیرون بیاید.
راه حل:
اجازه دهید X متغیر تصادفی باشد که زمان را بر حسب ساعت نشان می‌دهد تا زمانی که فرد سالم بیرون بیاید و Y نشان‌دهنده لوله‌ای است که در ابتدا انتخاب کرده است.
پس از
اگر شخص لوله دوم را انتخاب کند، 5 خانه در آن صرف می کند اما با زمان مورد انتظار بیرون می آید
بنابراین انتظار خواهد بود
انتظار مجموع تعداد تصادفی متغیرهای تصادفی با استفاده از انتظار شرطی
فرض کنید N عدد تصادفی متغیر تصادفی باشد و مجموع متغیرهای تصادفی باشد سپس انتظار
پس از
as
بنابر این
همبستگی توزیع دو متغیره
اگر تابع چگالی احتمال متغیر تصادفی دو متغیره X و Y باشد
جایی که
سپس همبستگی بین متغیر تصادفی X و Y برای توزیع دو متغیره با تابع چگالی است
از آنجایی که همبستگی به صورت تعریف شده است
از آنجایی که انتظار با استفاده از انتظار شرطی است
برای توزیع نرمال توزیع شرطی X داده شده Y دارای میانگین است
اکنون انتظار XY با توجه به Y است
این می دهد
از این رو
واریانس توزیع هندسی
در توزیع هندسی اجازه دهید آزمایش‌های متوالی مستقل را انجام دهیم که منجر به موفقیت با احتمال p می‌شود، اگر N نشان‌دهنده زمان اولین موفقیت در این توالی باشد، واریانس N طبق تعریف خواهد بود.
اجازه دهید متغیر تصادفی Y=1 اگر اولین آزمایش موفقیت آمیز باشد و Y=0 اگر آزمایش اول منجر به شکست شود، اکنون برای یافتن انتظارات ریاضی در اینجا، انتظار شرطی را به عنوان اعمال می کنیم.
پس از
اگر موفقیت در آزمایش اول باشد، N=1 و N2=1 اگر شکست در اولین آزمایش رخ دهد، برای بدست آوردن اولین موفقیت، تعداد کل آزمایش‌ها توزیع مشابه 1 خواهند داشت، یعنی اولین آزمایشی که منجر به شکست با به اضافه تعداد آزمایش‌های اضافی لازم می‌شود، یعنی
بنابراین انتظار خواهد بود
از آنجایی که انتظار توزیع هندسی است so
از این رو
و
E
بنابراین واریانس توزیع هندسی خواهد بود
انتظار حداقل توالی متغیرهای تصادفی یکنواخت
دنباله متغیرهای تصادفی یکنواخت U1، یا2 … .. در بازه (0، 1) و N به صورت تعریف شده است
سپس برای انتظار N، برای هر x ∈ [0, 1] مقدار N
ما انتظار N را به عنوان تنظیم می کنیم
برای یافتن انتظار از تعریف انتظار شرطی بر روی متغیر تصادفی پیوسته استفاده می کنیم
در حال حاضر شرطی شدن برای اولین ترم دنباله ما
به اینجا رسیدیم
تعداد باقی مانده از متغیرهای تصادفی یکنواخت در نقطه ای که اولین مقدار یکنواخت y است، در شروع یکسان است و سپس قرار بود متغیرهای تصادفی یکنواخت اضافه شوند تا مجموع آنها از x − y بیشتر شود.
بنابراین با استفاده از این مقدار انتظار، مقدار انتگرال خواهد بود
اگر این معادله را متمایز کنیم
و
در حال حاضر ادغام این می دهد
از این رو
مقدار k=1 اگر x=0 باشد، بنابراین
m
و m(1) =e، تعداد مورد انتظار متغیرهای تصادفی یکنواخت در بازه (0، 1) که باید اضافه شوند تا مجموع آنها از 1 بیشتر شود، برابر است با e.
احتمال با استفاده از انتظار شرطی || احتمالات با استفاده از شرطی سازی
همچنین می‌توانیم احتمال را با استفاده از انتظار شرطی مانند انتظاری که با انتظار شرطی پیدا کردیم، پیدا کنیم تا یک رویداد و یک متغیر تصادفی X را در نظر بگیریم.
از تعریف این متغیر تصادفی و انتظار به وضوح
اکنون با انتظار مشروط به هر معنایی که داریم
مثال:
را محاسبه کنید عملکرد توده احتمال از متغیر تصادفی X، اگر U متغیر تصادفی یکنواخت در بازه (0,1،XNUMX) باشد، و توزیع شرطی X را با توجه به U=p به صورت دو جمله ای با پارامترهای n و p در نظر بگیرید.
راه حل:
برای مقدار U احتمال شرطی شدن است
ما نتیجه را داریم
بنابراین ما دریافت خواهیم کرد
مثال:
احتمال X <Y چقدر است، اگر X و Y متغیرهای تصادفی پیوسته با توابع چگالی احتمال f هستندX و fY بود.
راه حل:
با استفاده از انتظار مشروط و احتمال مشروط
as
مثال:
توزیع مجموع متغیرهای تصادفی مستقل پیوسته X و Y را محاسبه کنید.
راه حل:
برای یافتن توزیع X+Y باید احتمال مجموع را با استفاده از شرطی سازی به صورت زیر پیدا کنیم.
نتیجه:
انتظار شرطی برای متغیر تصادفی گسسته و پیوسته با مثال های مختلف با در نظر گرفتن برخی از انواع این متغیرهای تصادفی با استفاده از متغیر تصادفی مستقل و توزیع مشترک در شرایط مختلف، همچنین انتظار و احتمال نحوه یافتن با استفاده از انتظار شرطی توضیح داده شده است. به عنوان مثال، اگر به مطالعه بیشتر نیاز دارید، به کتاب های زیر مراجعه کنید یا برای مقاله بیشتر در مورد احتمال، لطفاً ما را دنبال کنید صفحات ریاضی.
https://en.wikipedia.org/wiki/probability_distribution
اولین دوره در احتمال توسط شلدون راس
طرح کلی احتمالات و آمار Schaum
مقدمه ای بر احتمال و آمار توسط روحتگی و صالح
