توزیع مشروط: 7 واقعیت جالب برای دانستن

• محتوا
• توزیع مشروط
• توزیع شرطی گسسته
• مثال در مورد توزیع شرطی گسسته
• توزیع شرطی پیوسته
• مثال در مورد توزیع شرطی پیوسته
• توزیع شرطی توزیع نرمال دو متغیره
• توزیع احتمال مشترک تابع متغیرهای تصادفی
• نمونه هایی از توزیع احتمال مشترک تابع متغیرهای تصادفی

توزیع مشروط

   بسیار جالب است که در مورد توزیع شرطی بحث کنیم وقتی دو متغیر تصادفی از توزیع تبعیت می کنند و یکی دیگر را برآورده می کند، ابتدا به طور خلاصه توزیع شرطی را در هر دو متغیر تصادفی، گسسته و پیوسته می بینیم سپس پس از مطالعه برخی پیش نیازها، بر روی انتظارات مشروط

توزیع شرطی گسسته

     با کمک تابع جرم احتمال مشترک در توزیع مشترک، توزیع شرطی را برای متغیرهای تصادفی گسسته X و Y با استفاده از احتمال شرطی برای X با توجه به Y به عنوان توزیع با تابع جرم احتمال تعریف می کنیم.

به شرطی که احتمال مخرج بزرگتر از صفر باشد، می توانیم این را به صورت مشابه بنویسیم

در احتمال مشترک اگر X و Y متغیرهای تصادفی مستقل باشند، این به تبدیل خواهد شد

بنابراین توزیع شرطی گسسته یا توزیع شرطی برای متغیرهای تصادفی گسسته X داده شده Y متغیر تصادفی با تابع جرم احتمال بالا است به روشی مشابه برای Y با توجه به X ما می توانیم تعریف کنیم.

مثال در مورد توزیع شرطی گسسته

1. یافتن تابع جرم احتمال متغیر تصادفی X به Y=1 داده می شود، اگر تابع جرم احتمال مشترک برای متغیرهای تصادفی X و Y مقادیری مانند

p(0,0)=0.4، p(0,1،0.2)=1,0، p(0.1)= 1,1، p(0.3،XNUMX)=XNUMX

حالا اول از همه برای مقدار Y=1 داریم

بنابراین با استفاده از تعریف تابع جرم احتمال

ما

و

• توزیع شرطی X را با توجه به X+Y=n بدست آورید، که در آن X و Y توزیع های پواسون با پارامترهای λ هستند.₁ و λ₂ و X و Y متغیرهای تصادفی مستقل هستند

از آنجایی که متغیرهای تصادفی X و Y مستقل هستند، بنابراین توزیع شرطی تابع جرم احتمالی خواهد داشت

از آنجایی که مجموع متغیر تصادفی پواسون دوباره پواسون است

بنابراین توزیع شرطی با تابع جرم احتمالی بالاتر، توزیع شرطی برای چنین توزیع‌های پواسون خواهد بود. حالت فوق را می توان برای بیش از دو متغیر تصادفی تعمیم داد.

توزیع شرطی پیوسته

   توزیع شرطی پیوسته متغیر تصادفی X با توجه به y که قبلاً تعریف شده است، توزیع پیوسته با تابع چگالی احتمال است.

چگالی مخرج بزرگتر از صفر است که برای تابع چگالی پیوسته برابر است

بنابراین احتمال چنین تابع چگالی شرطی است

به طور مشابه در گسسته اگر X و Y در پیوسته مستقل باشند، پس نیز

و از این رو

بنابراین می توانیم آن را به صورت بنویسیم

مثال در مورد توزیع شرطی پیوسته

1. اگر تابع چگالی احتمال مشترک با بازه باز (0,1) به وسیله Y داده شود، تابع چگالی شرطی متغیر تصادفی X را محاسبه کنید.

اگر برای متغیر تصادفی X در داخل (0,1) Y داده شود، با استفاده از تابع چگالی بالا داریم

• احتمال شرطی را محاسبه کنید

اگر تابع چگالی احتمال مشترک توسط

برای یافتن احتمال شرطی ابتدا به تابع چگالی شرطی نیاز داریم تا طبق تعریف، چنین باشد

در حال حاضر با استفاده از این تابع چگالی در احتمال احتمال شرطی is

توزیع شرطی توزیع نرمال دو متغیره

  می دانیم که توزیع نرمال دو متغیره متغیرهای تصادفی نرمال X و Y با میانگین و واریانس مربوطه به عنوان پارامتر دارای تابع چگالی احتمال مشترک است.

بنابراین برای یافتن توزیع شرطی برای چنین توزیع نرمال دو متغیره ای برای X با توجه به Y با پیروی از تابع چگالی شرطی متغیر تصادفی پیوسته و تابع چگالی مشترک فوق تعریف می شود.

با مشاهده این می توان گفت که این به طور معمول با میانگین توزیع می شود

و واریانس

به روشی مشابه، تابع چگالی مشروط برای Y با توجه به X قبلاً تعریف شده، فقط موقعیت‌های پارامترهای X را با Y تعویض می‌کند.

تابع چگالی حاشیه ای X را می توانیم از تابع چگالی شرطی بالا با استفاده از مقدار ثابت بدست آوریم.

اجازه دهید در انتگرال جایگزین کنیم

تابع چگالی اکنون خواهد بود

از آنجایی که ارزش کل

با تعریف احتمال، تابع چگالی اکنون خواهد بود

که چیزی جز تابع چگالی متغیر تصادفی X با میانگین و واریانس معمول به عنوان پارامتر نیست.

توزیع احتمال مشترک تابع متغیرهای تصادفی

  تا اینجا ما توزیع احتمال مشترک دو متغیر تصادفی را می دانیم، حالا اگر توابعی از این متغیرهای تصادفی داشته باشیم، توزیع احتمال مشترک آن توابع چگونه خواهد بود، چگونه می توان چگالی و تابع توزیع را محاسبه کرد، زیرا در موقعیت های واقعی زندگی داریم که در آن ما دارای توابع متغیرهای تصادفی،

اگر Y₁ و Y₂ توابع متغیرهای تصادفی X هستند₁ و X₂ به ترتیب که به طور مشترک پیوسته هستند، تابع چگالی پیوسته مشترک این دو تابع خواهد بود

جایی که ژاکوبین

و Y₁ =g₁ (X₁، ایکس₂) و Y₂ =g₂ (X₁، ایکس₂) برای برخی از توابع g₁ و ج₂ . اینجا g₁ و ج₂ شرایط ژاکوبین را به صورت پیوسته و دارای مشتقات جزئی پیوسته برآورده می کند.

اکنون احتمال چنین توابعی از متغیرهای تصادفی خواهد بود

نمونه هایی از توزیع احتمال مشترک تابع متغیرهای تصادفی

1. تابع چگالی مشترک متغیرهای تصادفی Y را پیدا کنید₁ =X₁ +X₂ و Y₂=X₁ -X₂ ، جایی که X₁ و X₂ تابع چگالی احتمال مشترک پیوسته هستند. همچنین در مورد ماهیت مختلف توزیع بحث کنید.

در اینجا ابتدا Jacobian را بررسی می کنیم

از آنجایی که g₁(x₁، ایکس₂) = x₁ +x₂  و ج₂(x₁، ایکس₂) = x₁ - ایکس₂ so

ساده کردن Y₁ =X₁ +X₂ و Y₂=X₁ -X₂ ، برای مقدار X₁ = 1/2 (Y₁ +Y₂ ) و X₂ = Y₁ -Y₂ ,

اگر این متغیرهای تصادفی متغیرهای تصادفی یکنواخت مستقل باشند

یا اگر این متغیرهای تصادفی متغیرهای تصادفی نمایی مستقل با پارامترهای معمولی باشند

یا اگر این متغیرهای تصادفی متغیرهای تصادفی عادی مستقل هستند، پس

• اگر X و Y متغیرهای نرمال استاندارد مستقلی باشند که داده شده است

توزیع مشترک را برای مختصات قطبی مربوطه محاسبه کنید.

ما با تبدیل معمول X و Y را به r و θ تبدیل می کنیم

بنابراین مشتقات جزئی این تابع خواهد بود

بنابراین ژاکوبین با استفاده از این توابع است

اگر هر دو متغیر تصادفی X و Y بزرگتر از صفر باشند، تابع چگالی مشترک شرطی است

اکنون با استفاده از تبدیل مختصات دکارتی به مختصات قطبی

بنابراین چگالی احتمال تابع برای مقادیر مثبت خواهد بود

برای متفاوت ترکیب از X و Y توابع چگالی به روش های مشابه هستند

اکنون از میانگین چگالی های فوق می توانیم تابع چگالی را به صورت بیان کنیم

و تابع چگالی حاشیه ای از این چگالی مشترک مختصات قطبی در بازه (0، 2π)

• تابع چگالی مشترک را برای تابع متغیرهای تصادفی پیدا کنید

U=X+Y و V=X/(X+Y)

که در آن X و Y هستند توزیع گاما با پارامترهای (α + λ) و (β + λ) به ترتیب.

با استفاده از تعریف توزیع گاما و تابع توزیع مشترک تابع چگالی برای متغیر تصادفی X و Y خواهد بود

توابع داده شده را به عنوان در نظر بگیرید

g₁ (x،y) =x+y، g₂ (x,y) =x/(x+y)،

بنابراین تمایز این تابع است

اکنون ژاکوبین است

پس از ساده کردن معادلات داده شده، متغیرهای x=uv و y=u(1-v) تابع چگالی احتمال است.

می توانیم از رابطه استفاده کنیم

• تابع چگالی احتمال مشترک را برای

Y₁ =X₁ +X₂+ X₃ ، Y₂ =X₁- ایکس₂ ، Y₃ =X₁ - ایکس₃

که در آن متغیرهای تصادفی X1، X2، X3 استاندارد هستند متغیرهای تصادفی عادی.

حال اجازه دهید ژاکوبین را با استفاده از مشتقات جزئی محاسبه کنیم

Y₁ =X₁ +X₂+ X₃ ، Y₂ =X₁- ایکس₂ ، Y₃ =X₁ - ایکس₃

as

ساده سازی برای متغیرهای X₁ ، ایکس₂ و X₃

X₁ = (Y₁ + Y₂ + Y₃)/3، X₂ = (Y₁ - 2 سال₂ + Y₃)/3، X₃ = (Y₁ + Y₂ -2 Y₃) / 3

ما می توانیم تابع چگالی مفصل را به صورت تعمیم دهیم

بنابراین ما داریم

برای متغیر نرمال تابع چگالی احتمال مشترک است

از این رو

جایی که شاخص است

تابع چگالی مشترک Y را محاسبه کنید₁ ……Y_n و تابع چگالی حاشیه ای برای Y_n جایی که

و X_i متغیرهای تصادفی نمایی با توزیع یکسان مستقل با پارامتر λ هستند.

برای متغیرهای تصادفی فرم

Y₁ =X₁ ، Y₂ =X₁ + X₂ ، ……، Y_n =X₁ +……+ X_n

ژاکوبین به شکل خواهد بود

و از این رو مقدار آن یک است و تابع چگالی مشترک برای متغیر تصادفی نمایی است

و مقادیر متغیر X_i خواهد بود

بنابراین تابع چگالی مفصل است

اکنون برای یافتن تابع چگالی حاشیه ای Y_n ما یک به یک به عنوان ادغام خواهیم کرد

و

به همین ترتیب

اگر این روند را ادامه دهیم به نتیجه خواهیم رسید

که تابع چگالی حاشیه ای است.

نتیجه:

La توزیع مشروط برای متغیر تصادفی گسسته و پیوسته با مثال های مختلف با در نظر گرفتن برخی از انواع این متغیرهای تصادفی مورد بحث که متغیر تصادفی مستقل نقش مهمی ایفا می کند. علاوه بر این مفصل توزیع برای تابع متغیرهای تصادفی پیوسته مشترک همچنین با مثال های مناسب توضیح داده شده است، در صورت نیاز به مطالعه بیشتر از طریق لینک های زیر بروید.

برای پست بیشتر در مورد ریاضیات، لطفا به ما مراجعه کنید صفحه ریاضیات

ویکیپدیاhttps://en.wikipedia.org/wiki/joint_probability_distribution/” target=”_blank” rel=”noreferrer noopener” class=”rank-math-link”>Wikipedia.org

اولین دوره در احتمال توسط شلدون راس

طرح کلی احتمالات و آمار Schaum

مقدمه ای بر احتمال و آمار توسط روحتگی و صالح