13 واقعیت در مورد نابرابری چبیشف و قضیه حد مرکزی

در نظریه احتمال نابرابری چبیشف و قضیه حد مرکزی با موقعیت‌هایی سروکار دارد که می‌خواهیم توزیع احتمال مجموع تعداد زیادی از متغیرهای تصادفی را در شرایط تقریباً نرمال پیدا کنیم. میانگین و واریانس مشخص است.

نابرابری مارکوف

نابرابری مارکوف برای متغیر تصادفی X که فقط مقدار مثبت را برای a>0 می گیرد، است

برای اثبات این برای یک> 0 در نظر بگیرید

پس از

در حال حاضر با توجه به انتظار از این نابرابری ما دریافت می کنیم

دلیلش این هست که

که نابرابری مارکف را برای a>0 به عنوان نشان می دهد

نابرابری چبیشف

 برای متناهی میانگین و واریانس متغیر تصادفی X نابرابری چبیشف برای k>0 است

در جایی که سیگما و mu نشان دهنده واریانس و میانگین متغیر تصادفی است، برای اثبات این موضوع از عبارت استفاده می کنیم نابرابری مارکوف به عنوان متغیر تصادفی غیر منفی

برای مقدار a به عنوان مربع ثابت، از این رو

این معادله معادل است

به وضوح

نمونه هایی از نابرابری های مارکوف و چبیشف:

1. اگر تولید یک کالای خاص به عنوان متغیر تصادفی برای هفته با میانگین 50 در نظر گرفته شود، احتمال تولید بیش از 75 در هفته را بیابید و اگر تولید یک هفته بین 40 تا 60 باشد، با توجه به واریانس آن، چه مقدار خواهد بود. هفته 25 است؟

راه حل: متغیر تصادفی X را برای تولید کالا به مدت یک هفته در نظر بگیرید سپس برای یافتن احتمال تولید بیش از 75 از آن استفاده می کنیم. نابرابری مارکوف as

حال از احتمال تولید بین 40 تا 60 با واریانس 25 استفاده می کنیم نابرابری چبیشف as

so

این نشان می دهد که احتمال هفته ای که تولید بین 40 تا 60 باشد، 3/4 است.

2. نشان دهید که نابرابری چبیشف که کران بالایی را برای احتمال فراهم می کند، به طور خاص به مقدار واقعی احتمال نزدیکتر نیست.

راه حل:

در نظر بگیرید که متغیر تصادفی X به طور یکنواخت با میانگین 5 و واریانس 25/3 در بازه (0,1) توزیع شده است و سپس توسط نابرابری چبیشف ما میتوانیم بنویسیم

اما احتمال واقعی خواهد بود

به همین ترتیب اگر متغیر تصادفی X را به طور معمول با میانگین و واریانس توزیع کنیم، از احتمال واقعی دور است. نابرابری چبیشف خواهد بود

اما احتمال واقعی این است

قانون ضعیف اعداد بزرگ

قانون ضعیف برای دنباله متغیرهای تصادفی با نتیجه ای دنبال می شود که نابرابری چبیشف می تواند به عنوان ابزاری برای اثبات به عنوان مثال برای اثبات استفاده شود

اگر واریانس صفر باشد، تنها متغیرهای تصادفی دارای واریانس برابر با 0 هستند که با احتمال 1 ثابت هستند، بنابراین با نابرابری چبیشف برای n بزرگتر یا مساوی 1

as

با تداوم احتمال

که نتیجه را ثابت می کند.

برای اثبات این امر فرض می کنیم که واریانس برای هر متغیر تصادفی در دنباله نیز محدود است، بنابراین انتظار و واریانس

در حال حاضر از نابرابری چبیشف کران بالای احتمال به عنوان

که برای n تمایل به بی نهایت خواهد بود

تئوری حد مرکزی

La تئوری حد مرکزی یکی از نتایج مهم در نظریه احتمال است زیرا توزیعی را به مجموع اعداد بزرگ می دهد که تقریباً نرمال است. توزیع علاوه بر روش یافتن احتمالات تقریبی برای مجموع متغیرهای تصادفی مستقل، قضیه حد مرکزی نیز نشان می‌دهد که بسامدهای تجربی بسیاری از جمعیت‌های طبیعی منحنی‌های معمولی زنگ‌شکل را نشان می‌دهند، قبل از توضیح جزییات این قضیه، از نتیجه استفاده می‌کنیم.

اگر دنباله متغیرهای تصادفی Z₁,Z₂، …. تابع توزیع و تابع مولد گشتاور F را داشته باشند_Zn و م_zn سپس

تئوری حد مرکزی: برای دنباله ای از متغیرهای تصادفی با توزیع یکسان و مستقل X₁,X₂،……. که هر کدام دارای میانگین μ و واریانس σ2 سپس توزیع مجموع

به نرمال استاندارد میل می کند همانطور که n به بی نهایت تمایل دارد تا a مقادیر واقعی باشد

اثبات: برای اثبات نتیجه، میانگین را صفر و واریانس را یک در نظر بگیرید μ=0 و σ²=1 و تابع تولید لحظه برای X_i وجود دارد و مقدار محدودی دارد بنابراین تابع مولد گشتاور برای متغیر تصادفی X_i/√n خواهد بود

تابع مولد گشتاور برای مجموع ΣX وجود دارد_i/√n خواهد بود

حالا L(t)=logM(t) را بگیریم

so

برای نشان دادن مدرکی که ابتدا نشان می دهیم

با نشان دادن شکل معادل آن

پس از

از این رو این نتیجه را برای میانگین صفر و واریانس 1 نشان می دهد، و همین نتیجه برای حالت کلی نیز با گرفتن

و برای هر یک داریم

مثالی از قضیه حد مرکزی

او برای محاسبه فاصله یک ستاره از آزمایشگاه یک ستاره شناس در سال نوری، از تکنیک های اندازه گیری استفاده می کند، اما به دلیل تغییر جو در هر بار فاصله اندازه گیری شده دقیق نیست، بلکه با مقداری خطا انجام می شود، بنابراین برای یافتن فاصله دقیقی که در نظر گرفته است. به طور پیوسته در یک دنباله و میانگین این فواصل را به عنوان فاصله تخمینی مشاهده کنید، اگر مقادیر اندازه گیری را با توزیع یکسان و متغیر تصادفی مستقل با میانگین d و واریانس 4 سال نوری در نظر گرفت، تعداد اندازه گیری را که باید انجام شود برای به دست آوردن خطای 0.5 بیابید. در ارزش تخمینی و واقعی؟

راه حل: اجازه دهید اندازه گیری ها را به عنوان متغیرهای تصادفی مستقل در دنباله X در نظر بگیریم₁,X₂،…….ایکس_n بنابراین توسط تئوری حد مرکزی ما میتوانیم بنویسیم

که تقریب به استاندارد است توزیع نرمال بنابراین احتمال خواهد بود

بنابراین برای بدست آوردن دقت اندازه گیری در 95 درصد، ستاره شناس باید n* فاصله را اندازه گیری کند که در آن

بنابراین از جدول توزیع نرمال می توانیم آن را به صورت بنویسیم

که می گوید اندازه گیری باید 62 بار انجام شود، این را نیز می توان با کمک مشاهده کرد نابرابری چبیشف با گرفتن

بنابراین نابرابری منجر به

بنابراین برای n=16/0.05=320 که اطمینان می دهد که تنها 5/XNUMX درصد خطا در اندازه گیری فاصله ستاره از آزمایشگاه مشاهدات وجود خواهد داشت.

2. تعداد پذیرفته شدگان در رشته مهندسی پواسون با میانگین 100 توزیع شده است، تصمیم گرفته شد که اگر پذیرفته شدگان 120 نفر یا بیشتر باشند تدریس در دو بخش باشد و در غیر این صورت فقط در یک بخش، احتمال اینکه وجود داشته باشد چقدر خواهد بود. دو بخش برای دوره باشد؟

راه حل: با پیروی از توزیع پواسون راه حل دقیق خواهد بود

که بدیهی است مقدار عددی خاصی را نمی دهد، اگر متغیر تصادفی X را به عنوان دانشجویان پذیرفته شده در نظر بگیریم، آنگاه توسط تئوری حد مرکزی

که می تواند باشد

که مقدار عددی است.

3. احتمال اینکه مجموع 30 دای هنگام نورد بین 40 تا 30 از جمله 40 و XNUMX باشد را محاسبه کنید؟

راه حل: در اینجا دای را به عنوان X در نظر می گیریم_i برای ده مقدار i. میانگین و واریانس خواهد بود

بنابراین به دنبال تئوری حد مرکزی ما میتوانیم بنویسیم

که احتمال مورد نیاز است.

4. برای متغیرهای تصادفی مستقل با توزیع یکنواخت X_i در بازه (0,1) تقریب احتمال چقدر خواهد بود

راه حل: از توزیع Unifrom می دانیم که میانگین و واریانس خواهد بود

اکنون از تئوری حد مرکزی ما میتوانیم

بنابراین مجموع متغیر تصادفی 14 درصد خواهد بود.

5. در صورت وجود 25 امتحان که زمان نمره دهی آنها مستقل با میانگین 450 دقیقه و انحراف معیار 50 دقیقه باشد، احتمال نمره دادن ارزیاب امتحان 20 امتحان در شروع 4 دقیقه خواهد بود.

راه حل: زمان مورد نیاز برای درجه بندی امتحان را با متغیر تصادفی X در نظر بگیرید_i بنابراین متغیر تصادفی X خواهد بود

از آنجایی که این کار برای امتحان 25 در 450 دقیقه است

در اینجا با استفاده از تئوری حد مرکزی

که احتمال مورد نیاز است.

قضیه حد مرکزی برای متغیرهای تصادفی مستقل

برای دنباله ای که به طور یکسان توزیع نشده است اما دارای متغیرهای تصادفی مستقل X است₁,X₂،……. که هر کدام دارای میانگین μ و واریانس هستند σ² به شرطی که ارضا شود

1. هر X_i یکنواخت محدود شده است
2. پس مجموع واریانس ها بی نهایت است

قانون قوی اعداد بزرگ

قانون قوی اعداد بزرگ مفهوم بسیار مهمی است نظریه احتمالی که می گوید میانگین توالی متغیر تصادفی معمولی با احتمال یک به میانگین همان توزیع همگرا می شود.

بیانیه: برای دنباله ای از یکسان توزیع شده و متغیرهای تصادفی مستقل X₁,X₂،……. که هر کدام دارای میانگین متناهی با احتمال یک هستند

اثبات: برای اثبات این موضوع، میانگین هر یک از متغیرهای تصادفی صفر و سری را در نظر بگیرید

در حال حاضر برای این قدرت این را در نظر بگیرید

پس از گرفتن بسط عبارت های سمت راست، شرایط فرم را داریم

از آنجایی که اینها مستقل هستند بنابراین میانگین اینها خواهد بود

با کمک ترکیب این جفت گسترش مجموعه در حال حاضر خواهد بود

پس از

so

ما دریافت می کنید

این نشان دهنده نابرابری است

از این رو

با همگرایی سری از آنجایی که احتمال هر متغیر تصادفی یک است

پس از

اگر میانگین هر متغیر تصادفی برابر با صفر نباشد با انحراف و احتمال یک می توانیم آن را به صورت زیر بنویسیم.

or

که نتیجه مورد نیاز است.

نابرابری یک طرفه چبیشف

نابرابری Chebysheve یک طرفه برای متغیر تصادفی X با میانگین صفر و واریانس محدود اگر a>0 باشد

برای اثبات این موضوع برای b>0 متغیر تصادفی X را در نظر بگیرید

که می دهد

بنابراین با استفاده از نابرابری مارکوف

که نابرابری لازم را می دهد. برای میانگین و واریانس می توانیم آن را به صورت بنویسیم

این در ادامه می تواند به صورت نوشته شود

مثال:

اگر تولید این شرکت معین دارای میانگین 120 و واریانس 100 باشد، حد بالایی احتمال را که تولید شرکتی که به صورت تصادفی توزیع می شود حداقل 400 شود.

راه حل:

با استفاده از یک طرفه نابرابری چبیشف

بنابراین احتمال تولید در عرض یک هفته حداقل 120 برابر 1/2 است، اکنون مرز این احتمال با استفاده از نابرابری مارکوف

که کران بالایی را برای احتمال نشان می دهد.

مثال:

صد جفت از دویست نفر گرفته می شود که صدها مرد دارند و صدها زن حد بالایی این احتمال را پیدا می کنند که حداکثر سی جفت شامل یک مرد و یک زن باشد.

راه حل:

اجازه دهید متغیر تصادفی X_i as

بنابراین جفت را می توان به صورت بیان کرد

از آنجایی که هر مردی می‌تواند به یک اندازه با افراد باقی‌مانده که صدها نفر از آنها زن هستند، جفت شود، بنابراین پست است

به همین ترتیب اگر i و j برابر نباشند

as

از این رو ما داریم

با استفاده از نابرابری چبیشف

که می گوید امکان جفت شدن 30 مرد با زن کمتر از XNUMX است، بنابراین می توانیم با استفاده از این محدودیت را بهبود بخشیم. نابرابری یک طرفه چبیشف

Chernoff Bound

اگر تابع مولد لحظه از قبل شناخته شده باشد

as

به همین ترتیب می توانیم برای t<0 بنویسیم

بنابراین کران چرنوف را می توان به صورت تعریف کرد

این نابرابری مخفف تمام مقادیر t مثبت یا منفی است.

Chernoff برای متغیر تصادفی معمولی استاندارد مرزبندی می کند

چرنوف به استاندارد محدود می شود متغیر تصادفی عادی که تابع تولید لحظه است

is

بنابراین به حداقل رساندن این نابرابری و شرایط قدرت سمت راست برای a>0 است

و برای <0 آن است

Chernoff برای متغیر تصادفی پواسون محدود می شود

Chernoff برای متغیر تصادفی پواسون که تابع مولد گشتاور است محدود می شود

is

بنابراین به حداقل رساندن این نابرابری و شرایط قدرت سمت راست برای a>0 است

و می شود

مثالی در مورد کرانوف باند

در یک بازی، اگر بازیکنی به طور مساوی مستقل از هر امتیاز قبلی، بازی را برد یا ببازد، کرانوف را برای احتمال پیدا کنید.

راه حل: اجازه دهید X_i نشان دهنده برنده شدن بازیکن است سپس احتمال آن خواهد بود

برای دنباله n نمایشنامه اجازه دهید

بنابراین تابع تولید لحظه خواهد بود

در اینجا با استفاده از بسط عبارات نمایی

بنابراین ما داریم

اکنون از ویژگی تابع مولد گشتاور استفاده می کنیم

این نابرابری را می دهد

از این رو

نتیجه:

نابرابری ها و قضیه حدی برای اعداد بزرگ مورد بحث قرار گرفت و مثال های قابل توجیه برای کران احتمالات نیز برای دریافت اجمالی ایده گرفته شد، همچنین از کمک متغیر تصادفی نرمال، پویسون و تابع مولد گشتاور برای نشان دادن استفاده می شود. این مفهوم را به راحتی انجام دهید، اگر نیاز به مطالعه بیشتر دارید، کتاب های زیر را مطالعه کنید یا برای مقاله بیشتر در مورد احتمال، لطفاً ما را دنبال کنید صفحات ریاضی.

اولین دوره در احتمال توسط شلدون راس

طرح کلی احتمالات و آمار Schaum

مقدمه ای بر احتمال و آمار توسط روحتگی و صالح