متغیر تصادفی دو جمله ای: 3 واقعیت جالب برای دانستن

متغیر تصادفی دو جمله ای و پواسون و ویژگی های آن

    متغیر تصادفی که با نتیجه موفقیت و شکست آزمایش تصادفی برای n تکرار سر و کار دارد به عنوان متغیر تصادفی دو جمله ای شناخته شده است. تعریف تابع جرم احتمال آن فقط با احتمال موفقیت p و احتمال شکست q سروکار دارد، تعریف با مثال هایی قبلاً دیده ایم، اکنون با درک برخی از ویژگی های چنین متغیر تصادفی گسسته ای را می بینیم،

انتظار و واریانس متغیر تصادفی دو جمله ای

انتظار و واریانس متغیر تصادفی دو جمله ای با n تکرار و p به عنوان احتمال موفقیت عبارتند از

E[X]= np

و Var(X) = np(1-p)

حال برای نشان دادن این دو مورد انتظار متغیر تصادفی توان k را با پیروی از تعریف در نظر بگیرید عملکرد توده احتمال برای متغیر تصادفی دو جمله ای به صورت

که در آن Y یک متغیر تصادفی دوجمله ای دیگر با n-1 آزمایش و p به عنوان احتمال موفقیت است، اگر مقدار k=1 را در نظر بگیریم، به دست خواهیم آورد.

E[X]= np

و اگر k=2 را جایگزین کنیم به دست می آید

سابق²] =npE[Y + 1]

=np[(n-1)p + 1]

بنابراین ما به راحتی به دست خواهیم آورد

Var(X)=E[X²] - (سابق])²

=np[(n-1)p + 1] -(np)²

=np(1-p)

مثال: برای یک سکه بی طرف، آزمایش پرتاب 100 بار را انجام دهید و برای تعداد دم هایی که در این مورد ظاهر می شوند، میانگین، واریانس و انحراف معیار چنین آزمایشی را پیدا کنید.

دم برای یک پرتاب احتمال موفقیت دارد p=1/2=0.5

بنابراین میانگین چنین آزمایشی است

E[X]= np

از آنجایی که آزمایش دو جمله ای است و فقط موفقیت یا شکست را برای n تعداد تکرار بدست خواهیم آورد

بنابراین به عنوان μ=np

μ=100x(0.5)=50

به همین ترتیب واریانس و انحراف معیار خواهد بود

Var(X)= np(1-p)

σ²= np (1-p)

ارزش خواهد بود

σ² =(100)(0.5)(0.5)=25

مثال:     میانگین و انحراف معیار احتمال عیب 0.1 در شرکت سازنده پیچ را از لات 400 بولت بیابید.

در اینجا n=400، p=0.1، میانگین= np=400×0.1=40

پس از

σ²= np (1-p)

بنابراین انحراف معیار خواهد بود

مثال: یافتن احتمال اگر میانگین و انحراف استاندارد برای متغیر تصادفی دوجمله ای به ترتیب 2 و 4 باشد دقیقاً، کمتر از و حداقل 2 موفقیت.

از آنجایی که میانگین = np= 4

و واریانس = np(1-p) = 2،

بنابراین 4 (1-p) = 2

(1-p)=1/2

p=1-(1/2)

با قرار دادن این مقدار به معنای دریافت می کنیم

np = 4

n(1/2)=4

n = 8

احتمال دقیقا 2 موفقیت خواهد بود

احتمال موفقیت کمتر از 2 خواهد بود

p(X < 2)

=P(0) +P(1) = ⁸C₀ p⁰q⁸ + ⁸C₁ p¹q⁷

=(1/256)+8 x (1/2) x (1/2)⁷ = 9 / 256

احتمال حداقل 2 موفقیت

p(X>2)= 1- p(X<2)

=1-P(0) – P(1)= 1-[P(0) + P(1)] =1- (9/256)=247/256

متغیر تصادفی پواسون

    متغیر تصادفی گسسته X که مقادیر 0,1,2…….. را می گیرد به عنوان متغیر تصادفی پواسون شناخته می شود که برای هر λ>0 تابع جرم احتمال آن باید باشد.

or

as

هنگامی که n بسیار بزرگ است و احتمال موفقیت p بسیار کوچک است، در چنین حالتی، متغیر تصادفی پواسون با تابع جرم احتمالی خود تبدیل به تقریب متغیر تصادفی دوجمله‌ای با pmf مربوطه می‌شود، زیرا انتظار در این مورد که np است متوسط ​​خواهد بود. باشد λ= np .

مثال: احتمال وجود حداقل یک خطای تایپی در هر صفحه از کتاب که دارای توزیع پواسون با میانگین 1/2 برای یک صفحه است را پیدا کنید.

اجازه دهید متغیر تصادفی گسسته X نشان دهنده خطاهای صفحه باشد. بنابراین متغیر تصادفی پواسون تابع جرم احتمالی را دارد

λ = 1/2

مثال: احتمال اینکه نمونه 10 موردی تولید شده توسط ماشینی با 0.1 احتمال تولید معیوب حداکثر یک مورد معیوب داشته باشد را بیابید.

این را می توانیم با تابع جرم احتمال دو جمله ای و همچنین تابع جرم احتمال پواسون حل کنیم، بنابراین این را با پواسون حل می کنیم.

انتظار و واریانس متغیر تصادفی پواسون

انتظارات و واریانس متغیر تصادفی پواسون با n تکرار و p به عنوان احتمال موفقیت عبارتند از

E[X]= np= λ

و          

Var(X) = np= λ

قبل از نشان دادن نتیجه باید در نظر داشته باشیم که متغیر تصادفی پواسون چیزی نیست جز تقریب متغیر تصادفی Binomial بنابراین np= λ اکنون انتظار با استفاده از تابع جرم احتمال خواهد بود.

این به این معنی است که مقدار مورد انتظار ریاضی متغیر تصادفی پواسون برابر با پارامتر آن است، به طور مشابه برای محاسبه واریانس و انحراف معیار متغیر تصادفی پواسون به انتظار مربع X نیاز داریم، بنابراین،

جمع بالا بدیهی است زیرا دو مورد از مجموع انتظار و مجموع احتمالات است.

بنابراین مقدار واریانسی که به دست خواهیم آورد برابر است

Var(X) = E[X²] - (سابق])²

=λ

بنابراین در مورد متغیر تصادفی پواسون، میانگین و واریانس یک مقدار یعنی np به عنوان یک پارامتر دارند.

La متغیر تصادفی پواسون تقریبی خوب برای یافتن فرآیندهای مختلف است، به عنوان مثال، یافتن وقوع تعداد زلزله در مدت زمان مشخص، یافتن تعداد الکترون در یک زمان ثابت از کاتد گرم شده، یافتن تعداد احتمالی مرگ‌ها در طول زمان مشخص یا تعداد. جنگ ها در یک سال خاص و غیره

مثال : احتمال اینکه تعداد کل مسافران در دو روز کمتر از 2 باشد را محاسبه کنید. اگر تعداد ورود مسافران با میانگین 5 از متغیر تصادفی پواسون تبعیت کند. میانگین=np=5

اگر تعداد مسافران در دو روز را کمتر از 2 در نظر بگیریم، می شود

اولین روز	روز دوم	در مجموع
0	0	0
0	1	1
1	0	1

بنابراین احتمال آن خواهد بود ترکیب از این دو روز به عنوان

=e^-10[1+5+5]

=11e^-10

= 114.5410^-5

= 4.994 * 10^-4

مثال: احتمال 4 یا بیشتر کندانسور معیوب را از یک بسته 100 تایی محاسبه کنید به شرطی که عیب ساخت کندانسور 1 درصد باشد.

در اینجا p=1% =0.01 و n= 100 * 0.01 =1

بنابراین می توانیم از تابع جرم احتمال متغیرهای تصادفی پواسون PMF استفاده کنیم

میانگین = np = 100 * 0.01 = 1

بنابراین احتمال 4 یا بیشتر کندانسور معیوب خواهد بود

=1-[P(0)+P(1)+P(2)+P(3)]

مثال: اگر احتمال 0.002 معیوب بودن یک محصول از تولید وجود داشته باشد، برای بسته ای که حاوی 10 محصول از این قبیل است، احتمال اینکه چنین بسته ای فاقد معیوب باشد، یک محصول معیوب و دو محصول معیوب از محموله 50000 وجود دارد. بسته های همان محصول

در اینجا برای یک بسته احتمال نقص، یعنی p=0.002، n=10

سپس میانگین np=0.002*10=0.020

ما برای هر مورد به عنوان پیدا خواهیم کرد

بنابراین از جدول مشخص است که تعداد تیغه های معیوب در بسته های صفر، یک و دو به ترتیب 4900,980,10،XNUMX،XNUMX خواهد بود.

نتیجه:

   در این مقاله به برخی از خواص یکی از آنها پرداختیم متغیر تصادفی دو جمله ای, متغیر تصادفی پواسون و آزمایش تصادفی همچنین یک متغیر تصادفی گسسته دیگر، یعنی متغیر تصادفی پواسون، که با خواص مورد بحث قرار گرفته است. توزیع برای تابع جرم احتمال، انتظار، واریانس و مثال انحراف معیار نیز برای درک بهتر در نظر گرفته شده است، در مقاله‌های بعدی سعی می‌کنیم تا در صورت تمایل به مطالعه بیشتر، برخی از متغیرهای تصادفی گسسته‌تر را پوشش دهیم. صفحه ریاضیات.

طرح کلی احتمالات و آمار Schaum

https://en.wikipedia.org/wiki/Probability