شرح مختصری از نظریه احتمال
در مقالات قبلی احتمالی که مورد بحث قرار گرفتیم در سطح بسیار ابتدایی بود، احتمال وسیله ای برای بیان اطلاعاتی است که وقوع یک رویداد رخ داده است، در ریاضیات محض مفهوم احتمال در قالب نظریه احتمال توضیح داده شده است که به طور گسترده ای مورد استفاده قرار می گیرد. در زمینه های زندگی واقعی و همچنین شاخه های مختلف فلسفه، علم، قمار، مالی، آمار و ریاضیات و غیره برای یافتن احتمال وقوع رویدادهای اصلی استفاده می شود.
نظریه احتمال شاخه ای از ریاضیات است که به آزمایش تصادفی و نتیجه آن می پردازد، اهداف اصلی برای چنین تحلیلی از آزمایش تصادفی رویدادها، متغیرهای تصادفی، فرآیندهای تصادفی، رویدادهای غیر قطعی و غیره هستند.
ارائه یک مثال زمانی که سکه پرتاب می کنیم یا می میریم، این رویداد اگرچه تصادفی است، اما زمانی که چنین تعداد دفعات آزمایشی را تکرار می کنیم، نتیجه چنین آزمایش یا رویدادی منجر به آرایش آماری خاصی می شود که می توانیم پس از مطالعه از طریق قانون اعداد بزرگ پیش بینی کنیم. قضایای حد مرکزی و غیره بنابراین ما نیز می توانیم از آن استفاده کنیم نظریه احتمالی برای فعالیت های روزانه انسان ها به عنوان مثال مجموعه بزرگی از داده ها را می توان با تجزیه و تحلیل کمی تجزیه و تحلیل کرد، برای توضیح سیستم هایی که اطلاعات کافی برای آنها نداریم، می توانیم از نظریه احتمال استفاده کنیم، به عنوان مثال، سیستم های پیچیده در مکانیک آماری، برای پدیده های فیزیکی مقیاس های اتمی. در مکانیک کوانتومی
موقعیت‌های واقعی و همچنین کاربردهایی وجود دارد که در آنها موقعیت احتمالی رخ می‌دهد، به شرط آشنایی با مفهوم و مدیریت نتایج و روابط نظریه احتمال، از نظریه احتمال استفاده می‌شود. در ادامه به تمایز موقعیت ها با کمک برخی اصطلاحات در نظریه احتمال خواهیم پرداخت.
احتمال گسسته
نظریه احتمال گسسته مطالعه آزمایش‌های تصادفی است که در آن می‌توان نتیجه را به صورت عددی شمارش کرد، بنابراین در اینجا محدودیت رویدادهایی است که هر اتفاقی رخ داده است باید زیر مجموعه‌ای قابل شمارش از فضای نمونه داده شده باشد. این شامل آزمایش پرتاب سکه یا تاس، پیاده روی تصادفی، برداشتن کارت از عرشه، توپ در کیسه و غیره است.
احتمال پیوسته
نظریه احتمال پیوسته مطالعه آزمایش‌های تصادفی است که در آن نتیجه در فواصل پیوسته است، بنابراین در اینجا محدودیت رویدادهایی است که هر اتفاقی رخ داده است باید به صورت فواصل پیوسته به عنوان زیرمجموعه فضای نمونه باشد.
احتمال تئوری اندازه گیری
نظریه احتمال نظری اندازه گیری با هر یک از نتایج تصادفی گسسته و پیوسته سر و کار دارد، و متمایز می کند که در چه موقعیتی چه معیاری باید استفاده شود. تئوری احتمال تئوری اندازه گیری همچنین با توزیع های احتمالی سر و کار دارد که نه گسسته است و نه پیوسته و نه مخلوطی از هر دو.
بنابراین برای مطالعه احتمال ابتدا باید بدانیم که ماهیت آزمایش تصادفی چیست که گسسته، پیوسته یا مخلوط از هر دو باشد یا هیچکدام، بسته به این می‌توانیم استراتژی‌های خود را تعیین کنیم که باید از چه راهی پیروی کنیم. ما تمام وضعیت را به صورت متوالی یکی یکی بحث خواهیم کرد.
تجربه
هر عملی که نتیجه یا نتیجه ای ایجاد کند آزمایش نامیده می شود. دو نوع آزمایش وجود دارد.
| آزمایشات قطعی | آزمایش‌های غیر قطعی (یا آزمایش‌های تصادفی) |
| هر آزمایشی که بتوانیم نتیجه آن را از قبل تحت شرایطی پیش بینی کنیم. | هر آزمایشی که نتوانیم نتیجه یا نتیجه آن را از قبل پیش بینی کنیم. |
| به عنوان مثال جریان جریان در مدار خاص بر اساس توان ارائه شده توسط برخی از قوانین فیزیکی می دانیم. | به عنوان مثال پرتاب یک سکه بی طرفانه که نمی دانیم سرش می آید یا دم |
| ما برای چنین نتیجه آزمایش‌هایی به نظریه احتمال نیازی نداریم. | برای چنین نتایجی به نظریه احتمال نیاز داریم. |
نظریه احتمال اساساً به مدل a بستگی دارد آزمایش تصادفی، که حاکی از آزمایشی است که نتیجه آن با قطعیت قابل پیش بینی نیست، قبل از اجرای آزمایش. مردم معمولاً فکر می‌کنند که این آزمایش می‌تواند برای همیشه در شرایط اساسی یکسان تکرار شود.
این فرض است مهم است زیرا نظریه احتمال با بازآفرینی آزمایش به اقدامات طولانی مدت مربوط می شود. طبیعتاً، یک تعریف مناسب از آزمایش تصادفی نیاز به تعریف دقیقی دارد که مشخصاً چه اطلاعاتی در مورد آزمایش ثبت می شود، یعنی تعریف دقیقی از آنچه که یک آزمایش را تشکیل می دهد. نتیجه.
فضای نمونه
همانطور که قبلاً بحث شد فضای نمونه چیزی نیست جز مجموعه ای که تمام نتایج ممکن آزمایش غیر قطعی یا تصادفی را دارد. در تحلیل ریاضی، متغیر تصادفی که نتیجه چنین آزمایشی است، یک تابع با ارزش واقعی است که با X نشان داده می شود، یعنی X:A ⊆ S → ℝ که بعداً به تفصیل در مورد آن صحبت خواهیم کرد. در اینجا نیز می توانیم فضای نمونه را به صورت متناهی یا محدود طبقه بندی کنیم نا محدود. فضاهای نمونه بی نهایت می تواند باشد مجزا or مداوم.
| فضاهای نمونه محدود | فضاهای نمونه گسسته بی نهایت |
| پرتاب یک سکه یا هر چیزی با دو نتیجه متفاوت {H, T} | پرتاب مکرر یک سکه تا زمانی که اولین سر نشان دهد نتیجه ممکن است {H,TH,TTH,TTTH,…………} |
| پرتاب قالب {1، 2، 3، 4، 5، 6} | پرتاب یک قالب مکرر تا 6 بیاید |
| کشیدن یک کارت از یک دسته 52 کارتی | کشیدن کارت و تعویض تا زمانی که ملکه بیاید |
| انتخاب تولد از یک سال {1، 2، 3، 4، …، 365}. | زمان رسیدن دو قطار متوالی |
واقعه
واقعه همانطور که قبلاً می دانیم زیر مجموعه ای از فضای نمونه آزمایش تصادفی است که در مورد احتمال آن بحث می کنیم. به عبارت دیگر می‌توان گفت هر عنصری در مجموعه توان فضای نمونه برای فضای نمونه محدود، رویداد است و برای بی‌نهایت باید برخی از زیر مجموعه‌ها را حذف کنیم.
| رویدادهای مستقل | رویدادهای وابسته |
| در صورتی که رویدادها تأثیری بر رویدادهای دیگر نداشته باشد | وقوع یک رویداد روی رویدادهای دیگر تأثیر می گذارد |
| مثلا پرتاب سکه | کشیدن کارت بدون بازگشت. |
| احتمالات وقایع نیز تحت تاثیر قرار نمی گیرد | احتمالات وقایع تحت تأثیر |
| P(A ⋂ B) = P (A) XP(B) | P(A ⋂ B) =P(A) XP(B/A) P(B/A) پروب شرطی است. از B داده شده A |
متغیر تصادفی
درک از متغیر تصادفی برای مطالعه نظریه احتمال بسیار مهم است. متغیر تصادفی برای تعمیم مفهوم احتمال بسیار مفید است که به سوالات احتمالات خاصیت ریاضی می دهد و استفاده از احتمال نظری اندازه گیری بر اساس متغیر تصادفی است. متغیر تصادفی که نتیجه آزمایش تصادفی است یک تابع با ارزش واقعی است که با X نشان داده می شود یعنی X:A ⊆ S → ℝ
| متغیر تصادفی گسسته | متغیر تصادفی پیوسته |
| نتیجه قابل شمارش آزمایش تصادفی | نتیجه آزمایش تصادفی در محدوده |
| برای پرتاب سکه، رویدادهای احتمالی سر یا دم هستند. بنابراین متغیر تصادفی مقادیر: X=1 اگر سر و X=0 اگر دم باشد | یک عدد واقعی بین صفر و یک |
| برای پرتاب قالب X=1,2,3,4,5,6،XNUMX،XNUMX،XNUMX،XNUMX،XNUMX | برای زمان سفر X=(3,4،XNUMX) |
یک متغیر تصادفی را می توان به عنوان یک مقدار ناشناخته در نظر گرفت که هر بار که بررسی می شود ممکن است تغییر کند. بنابراین، یک متغیر تصادفی را می توان به عنوان تابعی در نظر گرفت که نگاشت آن فضای نمونه یک فرآیند تصادفی به اعداد واقعی.
توزیع احتمال
توزیع احتمال است به عنوان مجموعه ای از متغیرهای تصادفی با احتمال آن تعریف می شود،
بنابراین بدیهی است که بسته به ماهیت متغیر تصادفی می توانیم به عنوان دسته بندی کنیم
| توزیع احتمال گسسته | توزیع احتمال پیوسته |
| اگر متغیر تصادفی گسسته باشد، توزیع احتمال به عنوان توزیع احتمال گسسته شناخته می شود | اگر متغیر تصادفی پیوسته باشد، توزیع احتمال به عنوان توزیع احتمال پیوسته شناخته می شود |
| به عنوان مثال تعداد دم برای پرتاب یک سکه دو بار می تواند توزیع شود که در نتیجه TT، HH، TH، HT خواهد بود. X (تعداد دنباله): 0 1 2 P(x): 1/4 1/2 1/3 | توزیع احتمال پیوسته با توزیع احتمال گسسته متفاوت است، بنابراین برای متغیر تصادفی X ≤ a احتمال آن P(X ≤ a) را می توان به عنوان ناحیه زیر منحنی در نظر گرفت (تصویر زیر را ببینید) |
به طور مشابه برای برخورد با احتمال متغیر تصادفی به ماهیت متغیر تصادفی بستگی دارد، بنابراین مفاهیمی که ما استفاده می کنیم به ماهیت متغیر تصادفی بستگی دارد.
نتیجه:
در این مقاله به طور عمده در مورد سناریوی احتمال، نحوه برخورد با احتمال و برخی مفاهیم به صورت مقایسه ای بحث می کنیم. قبل از بحث در مورد موضوع اصلی، این بحث مهم است، به طوری که مشکلاتی که ما به آن می پردازیم در جایی که ما به وضوح می دانیم قرار می گیرند. در مقاله‌های متوالی احتمال را به متغیر تصادفی مرتبط می‌کنیم و برخی از اصطلاحات آشنای مربوط به نظریه احتمال را مورد بحث قرار می‌دهیم، اگر می‌خواهید بیشتر بخوانید، به این موارد بروید:
طرح کلی احتمالات و آمار Schaum
https://en.wikipedia.org/wiki/Probability
برای موضوعات بیشتر در مورد ریاضی لطفا بررسی کنید این صفحه.
